6、傅里叶级数与电路周期解相关知识解析

傅里叶级数与电路周期解相关知识解析

1. 傅里叶级数基础与周期解问题引入

在分析线性时不变微分方程在周期强迫函数作用下的周期解问题时，我们先从一些基础概念入手。假设数字 ${l_j}$ 是连续函数 $g$ 的采样值，即 $l_i = g(j\Delta)$。通过将 $\frac{n}{N}$ 视为小参数，利用泰勒级数可将相关公式识别为用于计算 $g$ 对应傅里叶系数的“黎曼和”。

这类周期解问题在多个领域都有出现，比如线性电路分析、线性机械系统和结构研究。在处理这类问题时，通常会先假设存在周期解，然后基于此进行计算。然而，若这个假设不成立，就可能出现问题。

当控制微分方程的齐次解包含与强迫项频率重合的周期分量时，会出现明显的问题，即共振现象。此时可能存在振幅无界的解，在这种情况下寻找周期解意义不大，而且在正式计算过程中，这种共振通常会表现为试图除以零。

还有一种更微妙的问题，当齐次解包含非共振振荡项或随时间增长无界的项时，正式计算可能会得出一个周期解的候选，但由于“不良不稳定模式”在实际实验中几乎会被激发，这个解在物理上是无法实现的。不过，在本质稳定的物理系统（如无源电路）分析中，不会出现这种情况，但包含有源器件的电路则可能会遇到此类陷阱。

2. 周期解计算示例

下面通过几个具体的电路示例来说明如何计算周期解。

2.1 RC 电路示例

考虑图 2.8 - 1 所示的 RC 电路，电压源 $e_0(t)$ 是周期为 2 的方波，表达式为：
[
f(t) =
\begin{cases}
1, & 0 < t \leq 1 \