32、图像形态学与低级特征提取技术详解

图像形态学与低级特征提取技术详解

灰度侵蚀与膨胀

在图像处理中，为了更好地理解式(3.62)所描述的过程，我们可以通过平移图3.40示例中的结构元素来进行可视化。要判断点$(x, z)$是否在变换后的集合中，我们将结构元素$B_1$移动到该点，观察其本影是否与$U(X)$完全相交。若相交，则结构元素的本影包含在函数的本影中，此时$U(B_1^{x,t}) \subseteq U(X)$成立。同样，对于判断$U(B_2^{x,t}) \subseteq U^c(X)$，我们移动结构元素$B_2$，看它是否包含在曲线的上半部分区域。若这两个条件都满足，那么算子平移到的点就属于击中或击不中变换的本影。

基于式(3.62)的推广，原本为二值形态学开发的算子可以重新定义，以应用于灰度数据。侵蚀和膨胀算子在灰度形态学中的定义如下：
- 侵蚀：$U(X \ominus B) = { (x, z) | U(B_1^{x,z}) \subseteq U(X) }$ (3.63)
- 膨胀：$U(X \oplus B) = { (x, z) | U(B_2^{x,z}) \subseteq U^c(X) }$ (3.64)

侵蚀算子规定，如果将元素$B_1$平移到点$(x, z)$后，其本影的每个点都在$X$的本影之下，那么点$(x, z)$就属于被侵蚀集合的本影。一种常见的可视化方法是想象我们在灰度轴上向上移动结构元素，侵蚀边界就是我们在不超出本影的情况下所能达到的最高点。与二值情况类似，该算子通过增加孔洞之间的间隔来去除集合$X$的边界，实际上是侵蚀或缩小了图像中的结构。图3.41A展示了对图3.40A中的图像应用侵蚀算子的结果，右侧显示了所使用的结构元素。为了清晰起见，我们