16、信号处理与边缘检测技术解析

信号处理与边缘检测技术解析

1. 信号处理中的z变换

在信号处理领域，$z^{-1}$ 本质上是一个单位时间步延迟算子，而 $z$ 则可被视为单位（时间步）提前算子。若 $s$ 为采样间隔，那么有 $f(t - s) = z^{-1}f(t)$ 和 $f(t + s) = zf(t)$。当存在两个空间轴 $x$ 和 $y$ 时，可借助 $z$ 变换符号，沿着这两个轴通过延迟和提前来表示Sobel算子，如下所示：
$Sobel(x, y) = -z_x^{-1}z_y^{-1} + 0 + z_xz_y^{-1} - 2z_x^{-1} + 0 + 2z_x - z_x^{-1}z_y + 0 + z_xz_y$

通过标准替换 $z^{-1} = e^{-jut}$（通过保角映射，沿频率轴计算），可将其从时间（$z$）域转换到频率域（$u$），得到：
$Sobel(u_x, u_y) = -e^{-ju_xt}e^{-ju_yt} + e^{ju_xt}e^{-ju_yt} - 2e^{-ju_xt} + 2e^{ju_xt} - e^{-ju_xt}e^{ju_yt} + e^{ju_xt}e^{ju_yt}$
$= (e^{-ju_yt} + 2 + e^{ju_yt})(- e^{-ju_xt} + e^{ju_xt})$
$= (\frac{e^{-ju_yt}}{2} + \frac{e^{ju_yt}}{2})^2(- e^{-ju_xt} + e^{ju_xt})$
$= 8j\cos^2(\frac{u_yt}{2})\sin(u_xt)$

这清晰地证实了沿 $y$ 轴的平滑（式(4.15)第一部分中的 $\cos$