14、图像形态学与低级别特征提取技术解析

图像形态学与低级别特征提取技术解析

1. 灰度形态学操作

在图像处理中，我们可以通过平移结构元素来可视化特定的变换过程。为了判断点 $(x, z)$ 是否在变换集中，我们将结构元素 $B1$ 移动到该点，查看其本影是否与 $U(X)$ 完全相交。若满足条件，则结构元素的本影包含在函数的本影内，即 $U(B1_{x,t}) \subseteq U(X)$ 成立。同理，对于 $U(B2_{x,t}) \subseteq U^c(X)$ 的判断，我们移动结构元素 $B2$，看它是否包含在曲线的上半区域。若两个条件都满足，那么操作符平移到的点就属于击中或击不中变换的本影。

基于此，我们可以将为二值形态学开发的算子重新表述，使其适用于灰度数据。灰度形态学中的腐蚀和膨胀操作定义如下：
- 腐蚀操作：$U(X \ominus B) = {(x, z) | U(B1_{x,z}) \subseteq U(X)}$
- 膨胀操作：$U(X \oplus B) = {(x, z) | U(B2_{x,z}) \subseteq U^c(X)}$

腐蚀操作意味着，如果将元素 $B1$ 平移到点 $(x, z)$ 后，其本影的每个点都在 $X$ 的本影之下，那么点 $(x, z)$ 就属于腐蚀集的本影。通常，我们可以想象在灰度轴上向上移动结构元素来可视化这个过程，腐蚀边界就是在不超出本影的情况下能达到的最高点。与二值情况类似，该操作通过增加孔洞的间距来去除集合 $X$ 的边界，从而缩小图像中的结构。

膨胀操作类似于对 $X$ 本影的补集进行腐蚀。当 $B2$ 本影中的所有点都在 $U^c(X)$ 中时，该点属于膨胀集。此操作会腐蚀或缩小集合 $U^c(X)$，当补