46、有界语言与反转有界自动机及双向上下文无关树篱自动机研究

有界语言与反转有界自动机及双向上下文无关树篱自动机研究

有界语言与反转有界自动机

在有界语言和反转有界自动机的研究中，我们首先关注特定语言的接受特性。

对于语言 (L_{4}^{cycle}={a_{1}^{n_1 + n_2}a_{2}^{n_2 + n_3}a_{3}^{n_3 + n_4}a_{4}^{n_4 + n_1}|n_1, n_2, n_3, n_4 \geq 0})，最初认为需要 5 次反转才能被接受，但实际上可以用 3 次反转的下推自动机（PDA）来接受。

进一步推广，对于任意偶数 (n \geq 2)，语言 (L_{n}^{1}={a_{1}^{p_1}a_{2}^{p_2}\cdots a_{n}^{p_n}| p_1 + \cdots + p_n) 是偶数，(p_1 - p_2 + p_3 - \cdots - p_{n - 2} + p_{n - 1} - p_n = 0}) 也能被 3 次反转的 PDA 接受。

为了证明对于所有 (n > 2)，接受 (L_{n}^{1}) 需要 3 次反转，我们借助了一个引理：
设 (L \subseteq a^{+}b^{+}c^{+}d^{+}) 满足：
- 对于所有 (n, r \geq 1)，(a^{n}b^{n}c^{r}d^{r} \in L)。
- 如果 (a^{n}b^{n}c^{r}d^{s} \in L)，那么 (r \leq s)。
- 如果存在整数 (t_1, t_2 \geq 1) 使得对于某些 (m < n) 有 (a^{n}b^{m}c^{r}d^{s} \in L)，那么 ((n - m)t_1 \leq (r