34、混合自动序列：超越传统自动序列的探索

混合自动序列：超越传统自动序列的探索

1. 引言

自动序列由Cobham于1972年引入，此后被广泛研究。对于一个有限字母表 $\Delta$ 上的序列 $w : N \to \Delta$，若存在一个有限自动机，对于某个 $k \geq 2$，以自然数 $n$ 的 $k$ 进制展开 $(n)_k$ 为输入，并输出 $w$ 的第 $n$ 个字母，则称 $w$ 是 $k$ -自动的。例如，对于乘法独立的 $k$ 和 $\ell$，$k$ -自动性和 $\ell$ -自动性几乎是分离的概念，若一个序列既是2 -自动的又是3 -自动的，那么它最终是周期的。

非标准计数系统及其产生的自动序列类也值得研究。Rigo等人研究了基于“短字典序”的“抽象计数系统”，精确捕捉了形态序列的类别。本文引入动态基数计数系统，它是标准 $k$ 进制表示的自然推广。有限自动机以动态基数输入实现的序列称为混合自动序列。

以著名的Thue - Morse序列为例，它是一个2 -自动序列。图1所示的自动机有状态 ${q_0, q_1}$，初始状态为 $q_0$，输入字母表为 ${0, 1}$，输出字母表为 ${a, b}$。$q_0$ 对应的输出字母是 $a$，$q_1$ 对应的输出字母是 $b$。当输入 $(n)_2$ 时，自动机的输出就是序列的第 $n$ 个字母。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-