28、语言间转换的理论与实践

语言间转换的理论与实践

1. 语言转换基础事实

在语言转换的研究中，有几个重要的基础事实。对于每一对 $(q, u)$，存在函数 $F_{q,u} : K \to K$ 和 $#F_{q,u} : K \to N$，使得对于所有的 $\nu$ 和 $k$，有 $M(q, u, \nu)(k) = \nu(F_{q,u}(k)) + #F_{q,u}(k)$。这意味着 $M(q, u, \nu)$ 的第 $k$ 个分量等于 $\nu$ 的第 $F_{q,u}(k)$ 个分量加上整数 $#F_{q,u}(k)$，该结论可通过对 $|u|$ 进行归纳证明，且利用了 $Tr$ 仅含 $+c$ 更新这一事实。

对于每一个 $F_{q,u} : K \to K$，存在 $N, P \in N$，使得对于所有的 $y \in N$，有 $(F_{q,u})^N = (F_{q,u})^{N + P y}$。这是因为从 $K$ 到 $K$ 的函数集合是一个在复合运算下封闭的有限集，可应用鸽巢原理得出该结论。

固定 $u$ 和 $q$ 使得 $\delta(q, u) = q$，并应用上述关于 $F_{q,u}$ 的 $N$ 和 $P$。对于每一个 $k \in K$，存在 $j \in K$ 以及 $\alpha, \beta \in N$，使得对于所有的 $\nu \in N^K$ 和 $y \in N$，有 $M(q, u^{N + P y}, \nu)(k) = \beta + y\alpha + \nu(j)$。证明时，令 $\beta := #F_{q,u^N}(k)$，$j := F_{q,u}^N(k)$，$\alpha := #F_{q,u^P}(j)$。

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