3、古代算法：从质数寻找至圆周率计算的智慧之旅

古代算法：从质数寻找至圆周率计算的智慧之旅

1. 欧几里得算法：迭代与递归的魅力

欧几里得算法用于求两个数的最大公约数（GCD）。其迭代版本通过不断用两数的差替换较大的数，使两数逐渐变小，直至差为零，此时两数相等，即为GCD。例如，对于两个数，每次操作后，两数及其差始终是GCD的倍数，经过多次迭代，差越来越小，最终为零，算法输出结果并终止。

递归版本的欧几里得算法则是算法自身调用自身。具体操作步骤如下：
1. 输入一对数字。
2. 用较大数减去较小数。
3. 用得到的值替换较大数。
4. 如果两数相等，输出其中一个数，它就是GCD；否则，将新的一对数再次应用此算法。

例如，对于18和12，第一次运算后变为12和6，再运算变为6和6，此时输出6，即为它们的GCD。递归版本不仅有效且高效，还具有对称性、美感和优雅性，是算法中的杰作。

2. 埃拉托斯特尼筛法：寻找质数的古老方法

公元前3世纪，埃拉托斯特尼被任命为亚历山大图书馆馆长。他最为人熟知的是测量地球的周长，同时他还发明了寻找质数的埃拉托斯特尼筛法。

质数是除了1和它自身外，没有其他精确整数除数的数，如2、3、5、7、11等。寻找质数非常困难，即使在现代，发现新的质数也很耗时。

埃拉托斯特尼筛法的操作步骤如下：
1. 列出从2开始你想寻找质数的数字列表。
2. 重复以下步骤：
- 找到第一个未被圈出或划掉的数字。
- 圈出它。
- 划掉该数字的所有倍数。
3. 当所有数字都被圈出或划掉时，停止重复。
4. 圈出的数字即为质数。