莫比乌斯反演推求和公式交换枚举顺序的骚技巧

最新推荐文章于 2023-05-31 16:20:36 发布

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#莫比乌斯反演 #51nod1742 #数论

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博客介绍了数论中求和交换顺序的技巧，并通过牛客网练习赛25A和51nod1742两道题进行说明。在牛客网题目中，将d范围提高到n，交换求和顺序；51nod1742题涉及莫比乌斯反演，分别对有平方因子和无平方因子情况求和，多次交换求和顺序求解。

技巧1：对这种求和交换顺序

技巧2：对这种求和交换顺序，看下面过程

A.牛客网练习赛25A，枚举约数个数和

$\large ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[d|i]$ //注意这里将d的范围提高到n，对结果无影响

$\large ans=\sum_{d=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor$ //令i=id,交换求和顺序,从枚举i变成枚举d

B.51nod1742，莫比乌斯反演

$\large ans=\sum_{t=1}^{n}\sum_{d|t}[if-d-has-square-factor]$ //有平方因子贡献为1

$\large ans=\sum_{t=1}^{n}\sum_{d|t}(1-\sum_{i^2|d}\mu(i))$ //1-有平方因子就是无平方因子的贡献

分别求和，前面跟A一模一样，后面

//同样提高d求和的上限到n，然后变成这样

$\large fuck=\sum_{t=1}^{n}\sum_{d|t}\sum_{i^2|d}\mu(i)$ $\large =\sum_{t=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[d|t]\sum_{i^2|d}\mu(i)$

//令t=td,交换求和就会得到下面，然后提高i求和上限到n,

$\large fuck=\sum_{d=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \sum_{i^2|d}\mu(i) =\sum_{d=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\sum_{i=1}^{n}\mu(i)[i^2|d]$

//令d=i^2d，交换求和顺序得到下面，因为ii<=n,所以i枚举到sqrt(n)即可

$\large fuck=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \sum_{d=1}^{n/i^2} \left \lfloor \frac{n}{i^2d} \right \rfloor =\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\mu(i)*Get1(\left \lfloor \frac{n}{i^2} \right \rfloor )$

Get1()就是上面A.求的那个

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std; 
int pri[45005];bool isp[45005];int mu[45005];ll F[10000005];
map<int,ll>mp;
void init(int n,int pp)//预处理sqrtn个mu 
{
    int p=0;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isp[i]==0)  pri[++p]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p&&i*pri[j]<=n;j++)
        {
            isp[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[i*pri[j]]=0;break;
            }
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
ll get1(ll n)//加个记忆化 46ms T很小，map可不加 
{
	if(n<=10000000&&F[n])return F[n];
	if(mp[n])return mp[n];
	ll ans=0;int nxt=0;
	for(int i=1;i<=n;i=nxt+1)
	{
		nxt=n/(n/i);
		ans+=1ll*(n/i)*(ll)(nxt-i+1);
	}
	if(n<=10000000) return F[n]=ans;
	return mp[n]=ans;
}
int main()
{
	
	ll n,n1;scanf("%lld %lld",&n,&n1);n--;
	init((int)sqrt(n1+0.5),1e9+7);
	ll ans=get1(n);
	for(int i=1;i<=n/i;i++)
		ans-=1ll*mu[i]*get1(n/i/i);
	
	ll ans1=get1(n1);
	for(int i=1;i<=n1/i;i++)
		ans1-=1ll*mu[i]*get1(n1/i/i);
	printf("%lld\n",ans1-ans);
}