莫比乌斯反演 hdu6390

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hdu多校第7场1005 GuGuFishtion

好久没做莫比乌斯反演了，推柿子走起ooo

$ans=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{\phi (ij)}{\phi (i)\phi(j)},n,m<=1e6$

$=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{(i,j)}{\phi ( (i,j) )}$ ,解释：用phi[x]=x*（1-质因子倒数的积）来证

$=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{min(n,m)}\frac{k}{\phi(k) }[(i,j)==k]$ ,令i=ik,j=jk

$= \sum_{k=1}^{min(n,m)}\frac{k}{\phi(k) } \sum_{i=1}^{m/k} \sum_{j=1}^{n/k} [(i,j)==1]$

$= \sum_{k=1}^{min(n,m)}\frac{k}{\phi(k) } \sum_{i=1}^{m/k} \sum_{j=1}^{n/k} \sum_{d|(i,j)}\mu (d)$

$= \sum_{k=1}^{min(n,m)}\frac{k}{\phi(k) } \sum_{i=1}^{m/k} \sum_{j=1}^{n/k} \sum_{d=1}^{min(n/k,m/k)} \mu (d)[d|i][d|j]$ ,d求和提前

$= \sum_{k=1}^{min(n,m)}\frac{k}{\phi(k) } \sum_{d=1}^{min(n/k,m/k)} \mu (d) \sum_{i=1}^{m/k} [d|i] \sum_{j=1}^{n/k} [d|j]$ ,令i=id,j=jd,并假设n<m

$= \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\phi(k) } \sum_{d=1}^{n/k} \mu (d) \left \lfloor \frac{n}{kd} \right \rfloor * \left \lfloor \frac{m}{kd} \right \rfloor$ ，令kd=T;交换求和顺序,则k为T的约数

$= \sum_{T=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor \sum_{k|T} \mu (T/k) \frac{k }{\phi(k) }$ ，令 $Fuck(T)=\sum_{k|T} \mu (T/k) \frac{k }{\phi(k) }$

$ans= \sum_{T=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor Fuck(T)$ ，考虑到Fuck是积性函数

用线性筛预处理Fuck前缀和加上分块即可O(Tn(sqrt(n)+sqrt(m)))解决

$Fuck(p)=\frac{p}{p-1}-1=\frac{1}{p-1}$ ,若p为质数

$Fuck(ap)=Fuck(a)*Fuck(p)$ ,若a%p!=0

$Fuck(ap)=0$ ,若a%p==0,考虑用Fuck(a)&&G(p)构造之

考虑a的质因子f(p^k),跟f(p^k+1)均为0，所以G(p)=0

速度rank2,能吹一天

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