A
题面
分析
我们设fif_ifi表示当限制m为i的时候期望步数大小
那么可以得到f0=0f_0=0f0=0,fi=1+1n∑j=1nf⌊ij⌋f_i=1+\frac{1}{n} \sum_{j=1}^nf_{\lfloor \frac{i}{j} \rfloor}fi=1+n1∑j=1nf⌊ji⌋
通过记忆化搜索可以得出答案
复杂度为O(n34)O(n^{\frac{3}{4}})O(n43),证明方式和杜教筛类似
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int long long
const int mod=998244353;
unordered_map <int,int> f;
int n,m;
int qpow(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=1ll*res*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
int dfs(int x)
{
if(f.find(x)!=f.end()) return f[x];
int res=0;
for(int R=x,L,q;R;R=L)
{
q=x/R; L=x/(q+1);
if(x!=q)
res+=1ll*dfs(q)*(min(n,R)-min(n,L))%mod;
}
return f[x]=1ll*(n+res)%mod*qpow(n-1,mod-2)%mod;
}
signed main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&m);
printf("%lld\n",dfs(m));
return 0;
}
B
题面
分析
我们选择的肯定是叶子节点,显然可以用调整法证明
然后我们可以贪心的选择叶子节点,让每次选择的点贡献最大即可
先考虑根固定的情况
我们第一个选的的叶子节点一定是距离根最远的点
那么第二个人要么选和上一个叶子没有公共路径的情况,要么贡献就要减去重合的部分
如图所示,红色的为这一次的决策
一定是 (所有节点的 儿子选择中除去最大的) 最大值
rt的第二大值表示了opt1的情况,蓝色边经过的每个点的第二大值代表了opt2,和之前有重复边的情况
这样我们只需要把所有点的除去最大值的值放进multiset中,再把全局最大加入multiset中,选前k大即可
这样就处理完了根固定的情况,然后就可以愉快的继续换根dp了, 每次仅影响当前rt和要换成新的rt的两个点的贡献,直接从multiset中删除再加入新的贡献即可
具体的维护方式就是换根dp的套路:维护downudown_udownu表示 u 子树内的最远点,upuup_uupu表示不在 u 子树内的最远的点
时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,ll> PIL;
const int maxn=1e5+5;
int n,k;
ll ans;
multiset <ll> a,b;
ll up[maxn],down[maxn];
vector <PIL> G[maxn];
void insert(ll x)
{
// printf("+ %lld\n",x);
if(a.size()<k || *a.begin()<x)
{
if(a.size()==k)
{
b.insert(*a.begin());
ans-=*a.begin(); a.erase(a.begin());
}
ans+=x; a.insert(x);
}
else b.insert(x);
}
void del(ll x)
{
// printf("- %lld\n",x);
if(a.find(x)!=a.end())
{
ans-=x; a.erase(a.find(x));
if(b.size())
{
auto it=b.end(); it--;
a.insert(*it);
ans+=*it;
b.erase(it);
}
}
else b.erase(b.find(x));
}
void dfs(int u,int fa)
{
for(auto to:G[u])
{
int v=to.first;
if(v==fa) continue;
dfs(v,u);
down[u]=max(down[u],down[v]+to.second);
}
}
bool cmp(ll x,ll y){return x>y;}
void dfs1(int u,int fa)
{
vector <ll> tmp;
tmp.clear(); tmp.push_back(0);
for(auto to:G[u])
{
int v=to.first;
if(v==fa) continue;
tmp.push_back(down[v]+to.second);
}
sort(tmp.begin(),tmp.end(),cmp);
for(int i=1;i<tmp.size();i++) insert(tmp[i]);
for(auto to:G[u])
{
int v=to.first;
if(v==fa) continue;
up[v]=max(up[u]+to.second,(down[v]+to.second==tmp[0]?tmp[1]:tmp[0])+to.second);
dfs1(v,u);
}
}
ll res[maxn];
void dp(int u,int fa)
{
// printf("!%d!\n",u);
res[u]=ans;
for(auto to:G[u])
{
int v=to.first;
if(v==fa) continue;
insert(up[v]); insert(down[v]);
del(down[v]+to.second); del(up[v]-to.second); //保证根节点有所有情况,其余点均为除了最大值的所有情况
dp(v,u);
del(up[v]); del(down[v]);
insert(down[v]+to.second); insert(up[v]-to.second);
}
}
int main()
{
//freopen("a.in","r",stdin);
//freopen("a.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&k);
int x,y; ll z;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
G[x].push_back(make_pair(y,z));
G[y].push_back(make_pair(x,z));
}
dfs(1,0);
dfs1(1,0);
insert(down[1]);
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld %lld\n",down[i],up[i]);
dp(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",res[i]);
return 0;
}