86、高斯过程：学习、应用与自动相关性确定

高斯过程：学习、应用与自动相关性确定

1. 高斯过程回归概述

高斯过程回归在许多领域都有应用，如对低维流形上的分布进行建模以用于无监督学习，以及求解随机微分方程等。高斯过程模型的预测部分依赖于协方差函数的选择。在实际应用中，我们通常不固定协方差函数，而是使用参数化的函数族，并从数据中推断参数值。这些参数控制着相关性的长度尺度、噪声的精度等，对应于标准参数化模型中的超参数。

2. 学习超参数

2.1 基于似然函数的方法

学习高斯过程模型超参数的技术基于似然函数 ( p(t | \theta) ) 的评估，其中 ( \theta ) 表示高斯过程模型的超参数。最简单的方法是通过最大化对数似然函数来对 ( \theta ) 进行点估计，这类似于线性回归模型中的第二类最大似然过程。

对数似然函数可以使用多元高斯分布的标准形式轻松计算：
[
\ln p(t | \theta) = -\frac{1}{2} \ln |C_N| - \frac{1}{2} t^T C_N^{-1} t - \frac{N}{2} \ln(2\pi)
]
其中 ( C_N ) 是协方差矩阵， ( t ) 是目标向量， ( N ) 是数据点的数量。

2.2 梯度计算

对于非线性优化，我们还需要对数似然函数关于参数向量 ( \theta ) 的梯度。假设 ( C_N ) 的导数计算是直接的，利用相关结果，我们可以得到：
[
\frac{\partial}{\partial \theta_i} \ln p(t | \theta) = -\frac{1}{2} \mat