67、神经网络中的雅可比矩阵与海森矩阵：计算与近似方法

神经网络中的雅可比矩阵与海森矩阵：计算与近似方法

1. 雅可比矩阵的计算

在神经网络的计算中，雅可比矩阵的计算是一个重要的环节。计算雅可比矩阵可以通过反向传播算法来实现，具体步骤如下：
1. 前向传播：计算网络中所有隐藏单元和输出单元的激活值。
2. 反向传播：对于雅可比矩阵的每一行 (k)（对应输出单元 (k)），使用递归关系 (5.74) 进行反向传播，从 (5.75) 或 (5.76) 开始，对网络中所有隐藏单元进行计算。
3. 输入层反向传播：最后，使用 (5.73) 将反向传播进行到输入层。

雅可比矩阵也可以使用另一种前向传播的形式来计算，这种方法与上述的反向传播方法类似。

同时，我们可以使用数值微分来验证这些算法的实现，公式如下：
[
\frac{\partial y_k}{\partial x_i} = \frac{y_k(x_i + \epsilon) - y_k(x_i - \epsilon)}{2\epsilon} + O(\epsilon^2) \quad (5.77)
]
对于一个具有 (D) 个输入的网络，这种方法涉及 (2D) 次前向传播。

下面是雅可比矩阵计算步骤的表格总结：
|步骤|操作|
|----|----|
|1|前向传播计算所有隐藏和输出单元激活值|
|2|对雅可比矩阵每行 (k)，用递归关系 (5.74) 反向传播|
|3|使用 (5.73) 反向传播到输入层|

2. 海森矩阵的重要性及应用

海森矩阵在神经网络计算中具有重要作用，它由误差函数关于网络中权重的