26、高斯分布与周期性变量的概率分布

高斯分布与周期性变量的概率分布

1. 多元学生t分布

多元学生t分布的概率密度函数表示如下：
[St(x|\mu, \Lambda, \nu) = \frac{\Gamma(D/2 + \nu/2)}{\Gamma(\nu/2)} \frac{|\Lambda|^{1/2}}{(\pi\nu)^{D/2}} \left[1 + \frac{\Delta^2}{\nu}\right]^{-D/2 - \nu/2}]
其中，$D$ 是 $x$ 的维度，$\Delta^2$ 是马氏距离的平方，其定义为：
[\Delta^2 = (x - \mu)^T\Lambda(x - \mu)]
该分布具有以下性质：
- 当 $\nu > 1$ 时，$E[x] = \mu$。
- 当 $\nu > 2$ 时，$cov[x] = \frac{\nu}{\nu - 2}\Lambda^{-1}$。
- 众数 $mode[x] = \mu$。

这些性质在单变量的情况下也有对应的结果。

2. 周期性变量的挑战

虽然高斯分布在实际应用和复杂概率模型构建中具有重要意义，但在处理某些连续变量时并不适用，其中一个重要的情况就是周期性变量。

周期性变量的例子包括特定地理位置的风向，我们可能会在多个日子里测量风向值，并希望用参数分布来总结这些数据。另一个例子是日历时间，我们可能对在24小时周期或年度周期内呈周期性变化的量进行建模。这些量可以方便地用角度（极坐标）$0 \leq \theta < 2\pi$ 来表示。

如果我们尝试通过选择某个方向作为原点，然后应用常规分布（如高斯分