9、粒子轨迹追踪技术：从基础方法到在线应用

粒子轨迹追踪技术：从基础方法到在线应用

1. 神经网络在轨迹追踪中的应用

1.1 Hopfield网络

Hopfield网络是一种全连接的单层神经元网络。在最简单的情况下，神经元是二进制的，有两个状态：$s_i = ±1$，$i = 1, \cdots, n$。每对神经元$(i, j)$有固定的连接权重$w_{ij}$，且$w_{ij} = w_{ji}$，$w_{ii} = 0$。神经元的状态在离散时间步长内根据以下规则演变：
[s_i(t) = \text{sign}\left[\sum_{j=1}^{n} w_{ij} s_j (t - 1)\right]]
更新可以是同步的（状态并行重新计算）或异步的（状态顺序重新计算）。该网络有一个相关的函数$E(s)$，定义为：
[E(s) = -\frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} w_{ij} s_i s_j]
其中，$s = (s_1, \cdots, s_n)$是网络的状态。类似于自旋玻璃理论，$E(s)$被称为网络的能量函数。可以证明$E(s)$是时间$t$的非增函数，并且更新规则会使$E(s)$达到局部最小值。

在大多数应用中，目标是找到全局最小值而非局部最小值。为此，在网络中引入热噪声。在温度$T$下，状态$s$服从玻尔兹曼分布，概率函数为：
[P(s) = \frac{1}{Z} \exp [-E(s)/T ]]
其中，$Z = \sum_{s} \exp [-E(s)/T ]$。由于可能状态的数量随神经元数量呈指数增长，配分函数$Z$在平均场近似下计算，$s_i$的热平均值$v_i$为：
[v_i = \langle s_i