常微分方程复习——连续动力系统极限环备忘

🚩本文内容

• 极限环及其稳定性
• 极限环存在性判定

🚩学习目标

• 掌握极限环及其稳定性的概念与内容
• 了解Poincare-Bendixson环域定理
• 了解极限环不存在的判定定理Bendixson判据和Dulac判据

极限环及其稳定性

极限环：在相平面上，是孤立的闭轨，是另外轨道的极限集合。
孤立：简单来说，闭轨孤立意味着轨迹在系统中是独立存在的，不会与其他轨迹混合。
极限环的稳定性：
1.稳定极限环：如果$t\to +\infty$时，极限环$\Gamma$内外两侧的轨道都盘旋趋于$\Gamma$
2.不稳定极限环：如果$t\to -\infty$时，极限环$\Gamma$内外两侧的轨道都盘旋趋于$\Gamma$
3.半稳定极限环：如果$t\to +\infty$时，极限环$\Gamma$某一侧的轨道盘旋趋于$\Gamma$，而另一侧的轨道于$t\to -\infty$时盘旋趋于$\Gamma$

以上图片摘自张伟年常微分方程第二版p191。
从图中可以看到，稳定极限环的内外两侧轨道极限都是趋于一个轨道（黑线更明显的那一块）。
不稳定极限环仅在轨道最开始（$t\to -\infty$）会趋于极限环。
半稳定极限环：内外两侧在$t\to +\infty$时仅一个趋于，另一个不趋于。
流线图如下：
对于平面系统:
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=-y-x(x^2+y^2-1)\\ \dot{y}=x-y(x^2+y^2-1)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
可以化简为
$$\{\begin{array}{l}\dot{r}=-r(r^2-1)\\ \dot{\theta }=1\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$r=\sqrt{x^2+y^2},x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。
不难发现$r=1$是解，对应闭轨（单位圆）；$r=0$也是解，对应奇点。

代码如下：

function  poincare()
    clear,clc,close all
    % 画流线图
    [x1,x2]=meshgrid(linspace(-2.5,2.5,100));
    x1d = x2-x1.*(x1.^2+x2.^2-1);
    x2d = -x1-x2.*(x1.^2+x2.^2-1);
    l = streamslice(x1,x2,x1d,x2d);
    set(l,'color','red');
    % 定义角度
    theta = linspace(0, 2*pi, 100);

    % 计算圆上的点
    x = cos(theta);
    y = sin(theta);
    
    % 补单位圆
    hold on;
    plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
    axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
    grid on
    xlabel('x1')
    ylabel('x2')
    title('稳定极限环')
end

思考：如果：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=y-x(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2)\\ \dot{y}=-x-y(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
此时又该如何观察极限环以及积分曲线的趋向？
提示：首次积分：
$$\begin{gathered} V_1(t,x,y)=(x^2+y^2)(x^2+y^2-2)(x^2+y^2-1{)}^{-2}{e}^{4t} \\ {V}_2(t,x,y)=\arctan \frac{y}{x}+t \end{gathered}$$
利用极坐标变换并令$V_1=c_1,V_2=c_2$可知：
$$\begin{gathered} x=\sqrt{1\pm \frac{1}{\sqrt{1-c_1{e}^{-4t}}}}\cos (c_2-t) \\ y=\sqrt{1\pm \frac{1}{\sqrt{1-c_1{e}^{-4t}}}}\sin (c_2-t) \end{gathered}$$

极限环存在性与否的判定

极限环存在性判定

Poincare-Bendixson环域定理

考虑平面非线性系统：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=X(x,y)\\ \dot{y}=Y(x,y)\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
设函数$X(x,y)$和$Y(x,y)$是在平面上某区域$G$中的连续可微函数，如果在$G$内存在有界环形闭区域：$\overline{D}=L_1\cup D\cup L_2$
其中$L_1$是$D$的内边界，$L_2$是$D$的外边界，而$L_1,L_2$都是简单闭曲线而不是(4)的闭轨。
满足条件：

• $\overline{D}$中不含(4)的平衡点
• (4)从$L_1,L_2$上出发的轨道都不能离开或者都不能进入$\overline{D}$

则(4)在$D$内存在一条闭轨。
如果能进一步判断闭轨是孤立的，则它就是极限环。

极限环不存在性判定

Bendixson判据

设$X(x,y)$和$Y(x,y)$在平面某区域G内连续可微，如果在单连通区域内$D\subset G$内$\mathbf{div}(X,Y)$不变号且在$D$内任意子区域上都不恒为零，则系统(4)在$D$内不存在闭轨。
证明：
$$\underset{D}{\iint }\mathbf{div}(X,Y)dxdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y})dxdy={\oint }_{\Gamma }Xdy-Ydx\ne 0$$
又因为
$$Xdy-Ydx=X\dot{y}-Y\dot{x}=XY-YX=0$$
矛盾。故闭轨不存在。

Dulac判据

设$X(x,y)$和$Y(x,y)$在平面某区域G内连续可微，如果在$G$内存在单连通区域$D$且$D$内存在连续可微函数$B(x,y)$，使得在$D$内$\mathbf{div}(BX,BY)$不变号且在$D$内任意子区域上都不恒为零，则系统(4)在$D$内不存在闭轨。
注：

• Dulac函数可以选择$B=e^{ax+by},x^a{y}^b$等形式。
• Dulac函数$B=1$时即Bendixson判据。