哈密顿回路

哈密顿图（哈密尔顿图）（英语：Hamiltonian graph，或Traceable graph）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径（Hamiltonian path）。

由来

 

天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton) 提出，在一个有多个城市的地图网络中，寻找一条从给定的起点到给定的终点沿 途恰好经过所有其他城市一次的路径。

这个问题和著名的七桥问题的不同之处在于，过桥只需要确定起点，而不用确定终点。哈密顿问题寻找一条从给定的起点到给定的终点沿 途恰好经过所有其他城市一次的路径

算法

哈密顿路径问题在上世纪七十年代初，终于被证明是“NP完全”的。据说具有这样性质的问题，难于找到一个有效的算法。实际上对于某些顶点数不到100的网络，利用现有最好的算法和计算机也需要比较荒唐的时间（比如几百年）才能确定其是否存在一条这样的路径。

从图中的任意一点出发，路途中经过图中每一个结点当且仅当一次，则成为哈密顿回路。

要满足两个条件：

⒈封闭的环

⒉是一个连通图，且图中任意两点可达

经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。

经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。

具有哈密顿回路的图称为哈密顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。

平凡图是哈密顿图。

生成下一个结点,代码如下：

void NextValue(int k) {
//X(l),…,X(k-1)是一条有k-l个不同结点的路径。若X(k)=0，则表示再无结
//点可分配给X(k)。若还有与X(1),…,X(k-1)不同且与X(k-1)有边相连结的
//结点则将其中标数最高的结点置于X(k)。若k=n，则还需与X(1)相连结。
int n，X[n]；bool Graph[n][n]； // n、X[n]定义成全局变量
int k，j；
while(1) {
X[k]=(x[k] + 1) mod (m+1) //下一个结点
if(X[k]==0) { return；}
if(Graph[X[k-1]],X[k]) { //有边相连吗
for(j=1；j<=k-1；++j) { //检查与前k-1个结点是否相同
if(X[j]==X[k]) break； //有相同结点，出此循环
}；//for
if(j==k) { //若为真，则是一个不同结点
if((k<n) or (k==n and Graph[X[n]],[1] ) return；
}；//if
}；//if
}//while
}//NextValue

使用过程NextValue和将递归回溯算法细化得到算法Hamiltonian。此算法可找出所有的哈密顿环。

 

找所有的哈密顿环，代码如下：

void Hamiltonian(int k) {
//这是找出图G中所有哈密顿环的递归算法。图G用它的布尔邻接矩阵
//Graph(1..n,1..n)表示。每个环都从结点 1开始。
int X[n]； //X[n]定义成全局变量
int k，n；
while(1) { //生成X(k)的值
NextValue(k)； //下一个合法结点分配给X(k)
if(x[k]==0) return；
if(k=＝) { print(X,’1’)；} //打印一个环
else { Hamiltonian(k+1)}
//if
}//repeat
}//Hamiltonian

 这个过程首先初始化邻接矩阵Graph(l..n,l..n)，然后置X(2:n)=0，X(l)=l，再执行Hamiltonian(2)