欧拉回路与欧拉路径

定义

　　欧拉回路：从图上一个点u出发不重复地经过每一条边后，再次回到点u的一条路径。

　　欧拉路径：从图上一个点u出发不重复地经过每一条边的一条路径（不必回到点u）。

　　欧拉图即存在欧拉回路的图，半欧拉图即存在欧拉路径的图。

　　而要求每个点只走一次的模型是哈密顿环。

定理

　　（1）无向图欧拉回路的判定：图G为连通图，所有顶点的度为偶数。

　　（2）无向图欧拉路径的判定：图G为连通图，除有2个顶点度为奇数外，其他顶点度都为偶数。

　　（3）有向图欧拉回路的判定：图G的基图联通（忽略有向图所有边的方向），所有顶点的入度等于出度。

　　（4）有向图欧拉路径的判定：图G的基图联通，存在顶点u的入度比出度小1，v入度比出度大一，其余所有顶点的入度等于出度。（此时u即路径的起点，v即终点）

其他定理

　　（5）无向图为（半）欧拉图时，只需用1笔画成；无向图为非（半）欧拉图时，即奇点（度为奇数的点）数k>2，需用k/2笔画成。

　　（6）可以用加边的方式把一个非欧拉图变成欧拉图。对于无向图来说，每个奇点都需加一个度，加的边为 奇点数/2 ；对于有向图来说，每个点都需加上入度与出度之差，加的边数为每个点入度与出度之差的绝对值之和再除以2。

　　一个图的奇点数一定是偶数。

求欧拉回路和欧拉路径

在无向图中实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
 
int G[100][100], n, du[100], ans[10000], temp, len;
 
void dfs(int k)
{
    for(int i = 1; i <= 100; i++){
        if(G[k][i]){
            G[k][i] = 0;
            G[i][k] = 0;
            dfs(i);
        }
    }
    ans[len++] = k;  //保存路径
}
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        du[x]++;  //x的度数++
        du[y]++;
        G[x][y] = 1;  //建图
        G[y][x] = 1;
    }
    for(int i = 1; i <= 100; i++){
        if(du[i] % 2 == 1) //如果说度数为奇数
            temp++;
    }
    if(temp != 0 && temp != 2) printf("既不是欧拉回路也不是欧拉路径\n");
    if(temp == 0){ //是欧拉回路，所有的度数都为偶数
        for(int i = 1; i <= 100; i++){
            if(du[i] != 0){  //随便找到一个点
                dfs(i);
                break;
            }
        }
    }
    if(temp == 2){  //是欧拉路径， 因为正好就有两个度数为奇数的点
        for(int i = 1; i <= 100; i++){
            if(du[i] % 2 == 1){  //因为，欧拉路径的起点应该是度数为奇数的点，所以遍历找到一个度数为奇数的点
                dfs(i);
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = len - 1; i >= 1; i--){
        printf("%d", ans[i]);
    }
    return 0;
}
 

在有向图中实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
 
struct node
{
    int to;   //出度
    int from; //入度
}du[100];
 
int G[100][100], n, ans[10000], temp, len, a, b;
 
void dfs(int k)  //
{
    for(int i = 1; i <= 100; i++){
        if(G[k][i]){
            G[k][i] = 0;
            dfs(i);
        }
    }
    ans[len++] = k;  //保存路径
}
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y); //从x指向y
        du[x].to++;    //x的出度+1
        du[y].from++;  //y的入度+1
        G[x][y] = 1;   //建图，从x指向y
    }
    for(int i = 1; i <= 100; i++){
        if(du[i].to != du[i].from) temp++;        //入度数不等与出度数
        else if(du[i].to - du[i].from == 1) a++;  //出度比入度多1
        else if(du[i].from - du[i].to == 1) b++;  //入度比出度多1
 
    }
    if(temp != 0 && temp != 2) printf("既不是欧拉回路也不是欧拉路径\n");
    if(temp == 0){ //是欧拉回路，所有的入度都等于出度
        for(int i = 1; i <= 100; i++){
            if(du[i].to != 0){  //随便找到一个点
                dfs(i);
                break;
            }
        }
    }
    if(temp == 2 && a == 1 && b == 1){  //是欧拉路径， 因为仅 i 点的出度比入度多 1 ， j 点的的入度比出度多 1 。
        for(int i = 1; i <= 100; i++){
            if(du[i].to - du[i].from == 1){  //因为，欧拉路径的起点应该是出度比入度多 1
                dfs(i);
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = len - 1; i >= 1; i--){
        printf("%d", ans[i]);
    }
    return 0;
}