最长单调递增子序列O(NlogN)算法

本文介绍了一种O(NlgN)复杂度的算法来求解最长单调递增子序列(LIS)。通过逐步解析示例序列d[1..9],详细展示了如何动态更新序列B以保持LIS的最小末尾元素,最终确定LIS的长度。

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O(NlgN)算法

假设存在一个序列d[1..9] ={ 2,1 ,5 ,3 ,6,4, 8 ,9, 7},可以看出来它的LIS长度为5。
 下面一步一步试着找出它。
 我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
 此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

 首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

 第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

 第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

 最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

 于是我们知道了LIS的长度为5。
原文出处: 原文链接

/*******************最长单调递增子序列**********************/
#include<stdio.h>
#define M 9
void INIT_MAP(int L[]){
	for(int i=0;i<M;i++){
		scanf("%d",&L[i]);
	}
}

void procs(const int L[],int B[],int &len){
	int flag=0;
	for(int i=1;i<M;i++){
		printf("执行第%d次\n",i);
		flag=0;
		for(int j=0;j<=len;j++){
			if(L[i]<=B[j]){
				B[j]=L[i];
				flag=1;
				break;
			}
		}
		if(flag==0){
			B[len+1]=L[i];
			len++;
		}
	}
}
void SHOW(const int array[]){
	for(int i=0;i<M;i++){
		printf("%d ",array[i]);
	}
	printf("\n");
}
void main(){
	int L[M];
	INIT_MAP(L);
	int B[M]={0};
	B[0]=L[0];
	int len=0;
	procs(L,B,len);
	printf("长度是%d\n",len);
	SHOW(L);
	SHOW(B);
} 

### 最长单调递增子序列 (LIS) 算法实现 #### 动态规划方法 \(O(n^2)\) 动态规划是一种解决 LIS 问题的经典方法。通过构建一个辅助数组 `dp`,记录以每个位置结束的最长递增子序列长度。 以下是基于动态规划的方法: ```python def lis_dp(arr): if not arr: return 0 n = len(arr) dp = [1] * n # 初始化 dp 数组,初始值均为 1,因为最短的递增子序列为单个元素本身 for i in range(1, n): # 遍历每一个元素作为结尾的情况 for j in range(i): # 查找前面所有可能构成递增关系的位置 if arr[j] < arr[i]: dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) # 更新当前最大长度 return max(dp) # 返回全局最大值即为整个序列的 LIS 长度 ``` 这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$[^1],适用于较小规模的数据集。 --- #### 基于二分查找优化的方法 \(O(n \log n)\) 为了进一步降低时间复杂度,可以通过维护一个有序列表来加速计算过程。具体思路如下: - 使用一个额外数组 `tails` 来存储潜在的递增子序列候选者。 - 对于每个新加入的数,如果它大于 `tails` 中的所有数,则将其追加到末尾;否则,利用二分查找找到第一个不小于它的数并替换之。 下面是具体的代码实现: ```python from bisect import bisect_left def lis_nlogn(arr): tails = [] # 存储递增子序列的最小可能尾巴 for num in arr: idx = bisect_left(tails, num) # 找到 num 应该插入的位置 if idx == len(tails): # 如果 num 大于 tails 中所有的数,则扩展 tails tails.append(num) else: # 否则更新对应位置上的数值 tails[idx] = num return len(tails) # tails 的长度即为 LIS 的长度 ``` 此版本的时间复杂度降到了 $O(n \log n)$[^1],适合处理大规模数据输入场景。 --- #### 示例运行 假设我们有以下测试用例: ```python if __name__ == "__main__": test_array = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] print("Using DP method:", lis_dp(test_array)) # 输出应为 4 print("Using Binary Search method:", lis_nlogn(test_array)) # 输出也应为 4 ``` 两个函数均返回相同的结果——表示原始数组中的最长递增子序列长度为 4(例如 `[2, 3, 7, 101]` 或其他符合条件的组合)。 --- ### 总结 两种方法各有优劣: - **动态规划**易于理解和实现,但其平方级时间复杂度使其仅限用于中小规模问题; - **二分查找优化版**显著提升了效率至线性对数级别,在实际应用中更为高效。 最终选择取决于具体需求以及性能约束条件下的权衡考虑。
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