单调递增最长子序列 O(nlogn)

单调递增最长子序列

时间限制： 3000 ms  |  内存限制： 65535 KB

难度： 4

描述

求一个字符串的最长递增子序列的长度
如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4

输入

第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理
随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000

输出

输出字符串的最长递增子序列的长度

样例输入

3
aaa
ababc
abklmncdefg

样例输出

1
3
7

来源

经典题目

上传者

iphxer

这一题的数据规模最大可以达到10000，经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。我们需要寻找更好的方法来解决最长上升子序列问题。

　　先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。

　　现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足

　　　(1)x < y < i (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]

　　此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？

　　很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

　　再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。

　　注意到D[]的两个特点：

　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

　　在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

　　这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int D[10000];
int binarysearch(int low,int high,int m)//二分查找
{
	int mid;
	mid=(low+high)/2;
	while(low<=high)
	{
		if(D[mid]<m&&D[mid+1]>=m)
			return mid;
		else
			if(D[mid]<m)
				low=mid+1;
			else
				high=mid-1;
		mid=(low+high)/2;
	} 
	return mid;
}   
int main()
{
	char a[10000];
	int kase,n,i,j,k,len;
	cin>>kase;
	while(kase--)
	{
		cin>>a+1;
		D[1]=a[1];
		len=1;
		n=strlen(a+1);
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
			if(a[i]>D[len])
			{
				len++;
				D[len]=a[i];
			}
			else
			{
				j=binarysearch(1,len,a[i]);
				k=j+1;
				D[k]=a[i];
			} 
		}  
	cout<<len<<endl;  
}
	return 0;
}