【数据结构】树

引言

一直没有系统的学习“树”这一数据结构，导致对一些概念，用法模棱两可，所以现在开始系统的学习一下；

知识点总结

树

树的定义

有若干条节点和若干条边组成的数据结构；
树是一种非线性的数据结构，我们可以类比想像生活中的树，有树枝，树枝分叉处，树叶等；

为什么要使用树

我们来考虑一个问题，有一段线路(长度为n)出现了故障，我们要判断问题出现在那部分，一般方法就是通过一节节的测试，但是这样的话平均需要测n/2次，当n非常大时，复杂度是不能接受的；因此，需要一个更为巧妙的办法==》二分查找；

这样的话，查找的时间复杂度就直接变成了log2n次，复杂度大大降低了，这种方法可以用”树“来实现；

树的特点

• 一棵树有n个节点，则可以确定有且仅有n-1条边；

常见术语

• 节点的度，指节点的子树数；
  
• 叶节点，度为0的点；
• 树的度，树中最大的节点的度；

二叉树

树的种类有很多种，其中最常用的就是二叉树；

二叉树的定义

树的度<=2的树称为二叉树；且二叉树的左右子树是严格区分的，不可随意改动；

特殊的二叉树

1.满二叉树

像这样的除了叶子节点，其余节点的度都为2的二叉树称为满二叉树；
2.完全二叉树
满二叉树是特殊的完全二叉树；

完全二叉树的性质

• 根节点的编号为1；
• 用数组表示完全二叉树的话，节点编号为i的左右节点存在的话，对应的编号为2i，2i+1；
• 二叉树的i层至多有2^(i-1)个节点；

二叉树的创建

struct node{
	int data;
	node* lc;
	node* rc;//<1>
};
node* newNode(int x){
	node* Node=new node;
	Node->lc=Node->rc=NULL;//<2>
	Node->data=x;
	return Node;
}
void insert(node* &root,int x){//<5>
	if(root==NULL){
		root=newNode(x);
		return;
	}
	if(root->lc==NULL)//<3>
	  insert(root->lc,x);
    else
	  insert(root->rc,x);
}
int num[100];
node* create(int data[],int n){
	node* root=NULL;//<4>
	for(int i=0;i<n;i++)
	  insert(root,data[i]);
	return root;
}

上述代码创建出来的二叉树：

对上面的代码一些我自己纠结了很久的地方做个解释
<1>
node* root与node *root是一样的，都是表示root为node类型的指针；千万不要过分纠结(很难受)；
<2><4>
都是为了初始化节点，NULL是一个宏定义，表示不指向任何地址的空指针；
<5>
node* &root的写法是为了能够修改二叉树(添加节点),与之相对应的是在遍历操作者就不需要使用&root，因为遍历时不需要对二叉树进行修改;
<3>
目前只会这样创建，太菜了;

二叉树的遍历

**注意：以下先，中，后都是描述根节点的位置的，比如先序遍历的顺序是根节点->左节点->右节；后序遍历的顺序是左->右->根节点；

1.先序遍历

void preorder(node* root){
	if(root==NULL)
	    return;
	printf("%d ",root->data);
	preorder(root->lc);
	preorder(root->rc);
}

先序遍历的特点:
先序遍历序列的第一个一定是根节点；

2.中序遍历

void inorder(node* root){
	if(root==NULL)
	    return;
	inorder(root->lc);
	printf("%d ",root->data);
	inorder(root->rc);
}

中序遍历的特点:
只要知道根节点，就能区分左右子树；
1.后序遍历

void postorder(node* root){
	if(root==NULL)
	    return;
	postorder(root->lc);
	postorder(root->rc);
	printf("%d ",root->data);
}

后序遍历的特点:
序列的最后一个是根节点；

总结
只有知道中序遍历序列，才可能唯一确定一棵二叉树，因为先序/后序节点只能确定根节点的位置，不能把左右节点分开；

4.层序遍历

void layerorder(node* root){
	queue<node*>q;
	q.push(root);
	while(!q.empty()){
		node* curr=q.front();
	     	q.pop();
		cout<<curr->data<<" ";
		if(curr->lc!=NULL){
			q.push(curr->lc);	
		}
		if(curr->rc!=NULL){
			q.push(curr->rc);
		}
	}
}

重建二叉树

我们经常会见到这样的问题：给定一个二叉树的中序序列，和先序/后序/层次序列的一种，重建这个二叉树；其中，先序等三种序列的作用是确定树的根节点位置，中序遍历序列的作用是区分左右节点；
以下面的例题来解释：

问题描述
定一棵二叉树的后序遍历和中序遍历，请你输出其层序遍历的序列。这里假设键值都是互不相等的正整数。

输入样例
7
2 3 1 5 7 6 4
1 2 3 4 5 6 7

输出样例
4 1 6 3 5 7 2

问题分析

代码展示

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int data;
	node* lc;
	node* rc;//<1>
};
node* newNode(int x){
	node* Node=new node;
	Node->lc=Node->rc=NULL;//<2>
	Node->data=x;
	return Node;
}
int post[100],in[100];
vector<int>ans;
node* JudgeByPostAndIn(int PostL,int PostR,int inL,int inR){
	//当前树的后序序列:[PostL,PostR],中序序列:[inL,inR]

	if(PostL>PostR)//??什么情况会 > 
	   return NULL;
	   node* root=newNode(post[PostR]);//创建节点！ 
	 int k=inL;
	 while(in[k]!=post[PostR])k+=1;
	 //找到中序序列中root的位置	
	 int numLeft=k-inL;//左子树个数 
	 root->lc=JudgeByPostAndIn(PostL,PostL+numLeft-1,inL,k-1);
	 root->rc=JudgeByPostAndIn(PostL+numLeft,PostR-1,k+1,inR);  
	 return root;
}
void layorder(node* root){
	queue<node*>q;
	q.push(root);
	while(!q.empty()){
		node* curr=q.front();
		q.pop();
		ans.push_back(curr->data);
		if(curr->lc!=NULL)q.push(curr->lc);
		if(curr->rc!=NULL)q.push(curr->rc);
	}
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&post[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&in[i]);
   node* root=JudgeByPostAndIn(1,n,1,n);
   layorder(root);
   for(int i=0;i<ans.size();i++){
   	if(i!=0)printf(" ");
   	printf("%d",ans[i]);
   }
   return 0;
   
}