多项式算法1：多项式乘法

最新推荐文章于 2022-06-02 21:53:49 发布

alpha202

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分类专栏：数论向量矩阵

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/alpha202/article/details/90737497

本文介绍了多项式的基本概念，包括度数、系数表示和卷积，并详细探讨了点值表示、插值以及如何通过复数单位根优化多项式乘法。重点讲解了离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）及其时间复杂度分析，以及FFT的逆变换。最后提到了迭代求解的方法。

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多项式简介

对于数域 $F\mathbb F$ ，若有 $1,2,3,⋯ ,n}\forall i\in\{1,2,3,\cdots,n \}$ ，则
$f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anx=∑i=1naixif(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx=\sum_{i=1}^na_ix^i$

为数域 $F\mathbb F$ 上的一个多项式.

多项式的度数

多项式最高项的次数称作多项式的次数
$f(x)=∑i=1naixif(x)=\sum\limits_{i=1}^na_ix^i$ ，其中 $a_n≠0$
记作 $f(x)=n\text{deg}\ f(x)=n$

多项式的系数表示

对于上述多项式 $f (x)$ ，有系数向量 $a⃗\vec{a}$ 与之映射
$f(x)=∑i=1naixi⇔a⃗=(a1,a2,a3,⋯ ,an)f(x)=\sum_{i=1}^na_ix^i⇔\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)$

我们称 $a⃗\vec{a}$ 为 $f (x)$ 的系数表示

多项式卷积

首先定义
$f(x)=∑i=1naixif(x)=\sum\limits_{i=1}^na_ix^i$

$g(x)=∑i=1nbixig(x)=\sum\limits_{i=1}^nb_ix^i$

于是他们的卷积形式为
$h(x)=(f⋅g)(x)=(∑i=1naixi)(∑i=1nbixi)h(x)=(f\cdot g)(x)=\Bigg(\sum\limits_{i=1}^na_ix^i\Bigg)\Bigg(\sum_{i=1}^nb_ix^i\Bigg)$

可得 $h(x)=2n\text{deg}\ h(x)=2n$ ，于是令
$h(x)=∑i=1ncixih(x)=\sum_{i=1}^nc_ix^i$

$c_i$ 满足以下运算律
$ci=∑j+k=iajbk=∑j=inajbi−jc_i=\sum_{j+k=i}a_jb_k=\sum_{j=i}^na_jb_{i-j}$

系数向量 $c$ 为 $a$ 与 $b$ 的卷积，记作
$c = a * b$

多项式点值表示

设 $f(x)=n\text{deg}\ f(x)=n$ ， $(i=(1,2,3,⋯ ,n))\forall x_i\in\mathbb F\ (i=(1,2,3,\cdots,n))$
$y_i=f(x_i)$

则我们可以在数域 $F\mathbb F$ 的坐标系中绘制出 $n$ 个点
$(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),⋯ ,(xn,yn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),\cdots,(x_n,y_n)$
同样与 $f (x)$ 函数有映射关系。

不妨将这 $n$ 个点带入矩阵运算
$xnn][a1a2a3⋮an]=[y1y2y3⋮yn]\begin{bmatrix}1\ \ x_1\ \ x_1^2\ \ \ \ \cdots\ \ x_1^n\\\\1\ \ x_2\ \ x_2^2\ \ \ \ \cdots\ \ x_2^n\\\\1\ \ x_3\ \ x_3^2\ \ \ \ \cdots\ \ x_3^n\\\\\vdots\ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ddots\ \ \vdots\\\\1\ \ x_n\ \ x_n^2\ \ \ \ \cdots\ \ x_n^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\\\a_2\\\\a_3\\\\\vdots\\\\a_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\\\y_2\\\\y_3\\\\\vdots\\\\y_n\end{bmatrix}$