多项式算法2：多项式求逆

最新推荐文章于 2019-06-02 11:55:45 发布

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本文介绍了如何通过迭代方法求解多项式F(x)的逆G(x)，满足F(x)G(x) ≡ 1 (mod xn)。首先设立初始条件，然后通过作差、两边平方以及展开公式，得到递归式G(x) ≡ G0(x)(2 - F(x)G0(x)) (mod xn)，最后化简并求逆元。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

已知多项式 $F (x)$ ，求满足条件的 $G (x)$ 使得
$F(x)G(x)≡1(modxn)F(x)G(x)\equiv1\pmod{x^n}$
考虑迭代求解
令
$(modx⌈n2⌉)F(x)G_0(x)\equiv1\ \pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$
作差可得
$F(x)(G(x)−G0(x))≡0(modx⌈n2⌉)F(x)\big(G(x)-G_{0}(x)\big)\equiv0\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$
除去 $F (x)$ ,得
$G(x)−G0(x)≡0(modx⌈n2⌉)G(x)-G_0(x)\equiv0\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$

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