17、分布式争用解决自组织TDMA方案的收敛分析与性能评估

分布式争用解决自组织TDMA方案的收敛分析与性能评估

在当今的通信网络中，高效的媒体访问控制（MAC）协议对于设备间的通信至关重要。本文将深入探讨一种分布式争用解决自组织时分多址（SO - TDMA）方案，包括其收敛特性和性能评估。

1. 算法参数影响

在SO - TDMA算法中，有两个关键参数对算法性能有着重要影响。
- 移动平均参数α ：它决定了算法的稳定性。较高的α值会更重视最新的空闲时隙测量值，而不是之前的值。降低α可以增加算法的稳定性，但会延长收敛时间；而增加α在一定程度上可以减少收敛时间，但超过某个点后，算法会变得过于不稳定而无法收敛。
- 目标阈值Ith ：它为新接入设备提供访问概率。增加Ith的值会使每帧中更多的退避时隙保持空闲，从而导致信道利用率变差，但会降低新设备的初始信道访问延迟，因为新设备找到空闲时隙的概率更高。相反，降低Ith会产生相反的影响。

2. 收敛分析

2.1 初始接入阶段的收敛时间

为了研究SO - TDMA通过初始接入阶段并进入周期性传输阶段所需的时间，我们进行了如下分析：
- 假设条件 ：
- 所有设备始终有数据包要传输，这代表了最坏的情况。
- 所有设备从一个等于Tstart的时隙开始，假设在一帧中有M = Tf / Tstart个不同的位置可供每个设备选择。
- 设备以轮询的方式选择位置，即每个轮次中，一个设备通过载波侦听多路访问（CSMA）从M个可用位置中随机选择一个。如果设备选择了已被其他设备占用的位置，则会发生冲突，参与冲突的两个设备需要继续尝试寻找合适的位置。
- 模型建立 ：基于这些假设，SO - TDMA的初始接入阶段可以建模为一个具有一个吸收状态的离散时间马尔可夫链。网络的状态S由已经通过CSMA成功访问信道并在帧中占据位置的设备数量表示，S属于集合S = {0, …, Nd}。
- 状态转移概率 ：
- 如果网络处于状态Si = s ∈ {0, …, Nd - 1}，一个设备选择空闲位置的概率为1 - s / M，即Pr(Si + 1 = s + 1|Si = s) = 1 - s / M。
- 如果设备选择了已被占用的位置，发生冲突，系统状态将回到s - 1，即Pr(Si + 1 = s - 1|Si = s) = s / M。
- 收敛时间计算 ：我们的目标是找到从s = 0开始，在被吸收到s = Nd之前，在瞬态状态中的预期访问次数。通过一系列的数学推导，得出当Nd < √M时，收敛到周期性传输阶段的预期时间与Nd呈线性增长。

以下是相关的数学公式：
- 转移矩阵P：
[
P =
\begin{bmatrix}
A & B \
0 & I_1
\end{bmatrix}
]
其中，Nd × Nd的吸收矩阵A表示瞬态状态之间的转移概率，Nd × 1的矩阵B表示从其他瞬态状态一步到达吸收状态的概率，0是一个1×Nd的零矩阵，I1是一个1 × 1的单位矩阵。
- 预期访问次数矩阵L：
[
L = [l_{ij}] {Nd×Nd} = (I {Nd} - A)^{-1}
]
其中，l1j表示从状态i开始，链处于状态j的预期次数。
- 预期访问次数λ0：
[
\lambda_0 = \sum_{j = 0}^{Nd - 1} l_{1j}
]

2.2 周期性传输阶段的公平性收敛

在周期性传输阶段，我们证明了SO - TDMA中采用的加性增加乘性减少（AIMD）时隙自适应算法收敛到公平性。通过Jain指数F(fd)来评估伪帧fn的公平性：
[
F(fd) = \frac{1}{N_d} \frac{(\sum_{d = 1}^{N_d} T_{s,d}(f_d))^2}{\sum_{d = 1}^{N_d} T_{s,d}^2(f_d)}
]
可以证明公平性指数单调收敛到1，即∀d F(fd) < F(fd + 1)且lim d→+∞F(fd) = 1。

3. 模拟设置与假设

为了评估SO - TDMA的性能，我们进行了模拟实验。模拟使用MATLAB在20 MHz频率带宽下对所有MAC协议进行。具体设置如下：
| 模拟参数 | 值 |
| ---- | ---- |
| Tm | 50 s |
| Nd | 2 - 10 |
| B | 20 MHz |
| T | 10 µs |
| Ith | 30 × T |
| Tf | 1000 × T |
| Tmin | 40 × T |
| Tmax | Tf - Ith = 970 × T |
| T0 | 100T |
| Tc | 10 ms |
| Dmax | 50 ms |
| 平均信噪比 | 20 dB |
| DIFS | 4 × T |
| SIFS | 1 × T |
| Ps | 2400 bytes |
| CWmin | 16 |
| CWmax | 1024 |
| α | 0.7 |
| ε | 0.001 |
| δ | 0.5 |
| WI | 5 × T |
| WD | 0.01 |

同时，我们假设了一个瑞利衰落信道，信道功率增益呈指数分布，并且所有设备的分布是独立同分布的。对于数据包到达，我们考虑了两种流量模型：泊松流量和恒定比特率（CBR）流量。

4. SO - TDMA的收敛情况

通过模拟实验，我们得到了以下结果：
- 传输时隙收敛 ：图8.3展示了不同设备的传输时隙在不同Na值下使用算法9的收敛过程。可以看出，SO - TDMA协议中的Ts,d可以在不知道Na的情况下收敛到目标值（Tf / Na）。对于不同的Na值，SO - TDMA在仅仅几个伪帧内就收敛到理想值，但收敛时间随着Na的增加而增加。
- 资源分配对比 ：图8.4展示了CSMA和SO - TDMA在饱和流量条件下的资源分配过程，包括成功传输（浅绿色）和冲突（深红色）。可以明显看出，SO - TDMA协议能够快速接近网络稳定状态，消除了设备之间的冲突概率，而CSMA存在非零的冲突概率，导致网络性能较差。此外，在饱和条件下，SO - TDMA的公平性也优于CSMA。

graph TD;
    A[初始状态] --> B{选择位置};
    B --> C{位置空闲?};
    C -- 是 --> D[成功接入];
    C -- 否 --> E[发生冲突];
    E --> B;
    D --> F[周期性传输阶段];

综上所述，SO - TDMA在收敛特性和性能方面表现出色，能够有效地支持机器类型通信（MTC）网络中的设备通信，提高信道利用率和公平性，同时降低冲突概率和延迟。

分布式争用解决自组织TDMA方案的收敛分析与性能评估

5. 有效容量和延迟中断概率

为了评估不同MAC协议对服务质量（QoS）的支持能力，我们将重点关注有效容量（EC）和延迟中断概率。

5.1 有效容量和延迟中断概率的定义

有效容量是一个QoS感知指标，它决定了网络在满足目标统计延迟要求的情况下所能支持的最大恒定到达率。延迟中断概率则是指数据包延迟超过目标延迟界限（如Dmax）的概率。在相关研究中，延迟中断概率可近似表示为：
[Pr(D(t) \geq D_{max}) \approx \gamma(\mu)e^{-\theta(\mu)D_{max}}]
其中，(D(t))表示数据包在时隙(t)经历的总延迟，包括排队延迟和可忽略的信道服务延迟；(\gamma)表示非空队列的概率；(\theta)表示延迟指数。(\gamma)和(\theta)都是恒定流量到达率(\mu)的函数。

5.2 测量方法

为了实证测量有效容量，我们采用以下步骤：
1. 估计(\gamma(\mu))和(\theta(\mu))：通过在长度为(T_m)的间隔内从所有设备收集(N_s)个样本，记录每个采样时刻(k)的(q_k)（表示队列中是否有数据包的指示符）和(D_k)（数据包经历的总延迟）。然后，使用样本均值估计非空队列概率(\hat{\gamma})和平均数据包延迟(\hat{d})：
- (\hat{\gamma} = \frac{1}{N_s} \sum_{k = 1}^{N_s} q_k)
- (\hat{d} = \frac{1}{N_s} \sum_{k = 1}^{N_s} D_k)
- 基于(\frac{\gamma(\mu)}{\theta(\mu)} = E[D(t)])，可得到估计的延迟指数(\hat{\theta} = \frac{\hat{\gamma}}{\hat{d}})。
2. 计算延迟中断概率：将估计的(\hat{\gamma})和(\hat{\theta})代入延迟中断概率公式，得到(Pr(D(t) \geq D_{max}) \approx \hat{\gamma}e^{-\hat{\theta}D_{max}})。
3. 二分搜索法计算有效容量：通过迭代测试不同的(\mu)值，找到对应目标延迟中断概率阈值(\varepsilon)的最大(\mu)值，即有效容量。具体算法如下：

算法10 EC搜索算法
1: Set μmin = 0 and μmax = max Rk
2: while |Pr(D(t) ≥Dmax) −ε| ≥(εδ) do
3:     Set μd = (μmin + μmax)/2, ∀d = 1, ..., Nd
4:     Run MAC protocol
5:     if Pr(D(t) ≥Dmax) ≥ε then
6:         μmax = μd
7:     else
8:         μmin = μd
9:     end if
10: end while
11: μsys = ∑N d=1 μd = Nμd

5.3 不同协议的性能比较

图8.5展示了不同协议在不同流量模型（CBR流量和泊松流量）下的延迟中断概率与(\mu_{sys})的关系。从图中可以得出以下结论：
- 流量模型的影响 ：对于相同的负载（平均流量率），泊松流量由于其可变性和突发性，会引入更高的延迟中断概率。
- 协议性能对比 ：在高负载情况下，PTDMA的性能优于CSMA，因为CSMA会遭受大量冲突，而PTDMA避免了这些冲突。理想PTDMA（其中时隙大小(T_{s,d})根据(N_a)进行调整）为延迟中断概率提供了下限。而提出的SO - TDMA实现了非常接近下限的性能，优于CSMA、PTDMA和PCMAC。

协议	达到延迟中断概率不超过(10^{-3})时的有效容量占下限比例
SO - TDMA	95%
CSMA	75%
PTDMA	15%

图8.6展示了不同协议的有效容量（按设备数量归一化）与网络中设备数量(N_d)的关系。可以看出，SO - TDMA协议的有效容量接近上限（即理想PTDMA），并且明显优于CSMA。在不同的(N_d)值下，SO - TDMA在QoS方面的性能都优于CSMA、PTDMA和PCMAC。例如，SO - TDMA相对于CSMA在有效容量方面的性能增益为15 - 40%。

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化μmin和μmax];
    B --> C{满足条件?};
    C -- 否 --> D[计算μd];
    D --> E[运行MAC协议];
    E --> F{Pr(D(t) ≥Dmax) ≥ε?};
    F -- 是 --> G[更新μmax];
    F -- 否 --> H[更新μmin];
    G --> C;
    H --> C;
    C -- 是 --> I[计算μsys];
    I --> J[结束];

6. 总结

通过对分布式争用解决自组织TDMA方案的深入研究，我们可以得出以下结论：
- 参数影响 ：移动平均参数(\alpha)和目标阈值(I_{th})对算法的稳定性、收敛时间、信道利用率和初始信道访问延迟有着重要影响。
- 收敛特性 ：
- 在初始接入阶段，SO - TDMA可以建模为离散时间马尔可夫链，当(N_d < \sqrt{M})时，收敛到周期性传输阶段的预期时间与(N_d)呈线性增长。
- 在周期性传输阶段，AIMD时隙自适应算法收敛到公平性，公平性指数单调收敛到1。
- 性能评估 ：
- 通过模拟实验，我们发现SO - TDMA能够快速收敛到目标值，消除设备之间的冲突概率，提高公平性。
- 在有效容量和延迟中断概率方面，SO - TDMA表现出色，接近理想PTDMA的性能，明显优于CSMA、PTDMA和PCMAC。

综上所述，SO - TDMA是一种高效的MAC协议，能够有效地支持MTC网络中的设备通信，提高网络性能和QoS。在未来的研究中，可以进一步探索如何优化SO - TDMA的参数设置，以适应不同的网络环境和应用场景。