11、量子算法在可用性启发式实验结果建模中的应用

量子算法在可用性启发式实验结果建模中的应用

1. 振幅放大算法的数学细节

在量子形式体系中，将 N 个项目划分为好项目和坏项目，会涉及一个 N 维的希尔伯特空间，其计算基为 {|0⟩, |1⟩, …, |N - 1⟩}，每个向量对应一个特定项目。函数 f 将希尔伯特空间 H 划分为好子空间（由满足 f(x) = 1 的向量 |x⟩ 张成）和坏子空间（由满足 f(x) = 0 的向量 |x⟩ 张成）。任何叠加态 |s⟩ = ∑x ψ(x)|x⟩ 都可写成 |s⟩ = |ψ0⟩ + |ψ1⟩，其中 |ψ1⟩ 是好向量的叠加（f(x) = 1），|ψ0⟩ 是坏向量的叠加（f(x) = 0）。

该算法步骤如下：
1. 初始状态 ：准备向量 A|0⟩ = |ψ0⟩ + |ψ1⟩，其中 A 是不使用测量的量子算法，a = ⟨ψ1|ψ1⟩ 是测量到好状态的概率。若 A 是量子傅里叶变换 FN : |x⟩ → N^(-1/2) ∑(N - 1, y = 0) e^(2πixy)|y⟩，则得到向量状态的均匀叠加，振幅为 N^(-1/2)，且 a = t/N（如标准 Grover 算法）。
2. 放大引擎 ：应用算子 Q = -AS0A^(-1)Sf，其中 S0 和 Sf 是条件相位反转算子（S0 仅当状态为零态 |0⟩ 时改变振幅符号，Sf 有条件地改变好状态的振幅符号）。
3. 测量最终状态 ：在计算基下测量结果状态，得到搜索结果之一。

经过 ⌊π/4arcsin(√a)⌋ 次迭代（⌊x⌋ 是 x 的取整），测量结果为好的概率至少为 max(a, 1 -