21、图的唯一最大和无冲突着色研究

图的唯一最大和无冲突着色研究

在图论领域，图的着色问题一直是研究的热点。唯一最大着色（Unique - Maximum Coloring）和无冲突着色（Conflict - Free Coloring）是其中两个重要的概念，它们在不同的场景中有着广泛的应用。本文将深入探讨这两种着色方式的相关性质，并通过定义两种图上的游戏来研究网格图的这两种着色数之间的关系。

1. 相关引理与定理

• 引理3 ：设图 $Y$ 由一个 $K_ℓ$ 和 $ℓ$ 个同构的连通图 $X$ 组成，对于每个 $i \in {1, \ldots, ℓ}$，第 $i$ 个 $X$ 的一个顶点通过一条边连接到 $K_ℓ$ 的第 $i$ 个顶点。则 $\chi_{um}(Y) \geq ℓ - 1 + \chi_{um}(X)$。通过对 $ℓ$ 进行归纳证明，当 $ℓ = 1$ 时，因为 $Y \supseteq X$，所以 $\chi_{um}(Y) \geq \chi_{um}(X)$；当 $ℓ > 1$ 时，$Y$ 是连通的，存在一个具有唯一颜色的顶点 $v$，去掉 $v$ 后的图 $Y - v$ 包含一个由 $K_{ℓ - 1}$ 和 $ℓ - 1$ 个 $X$ 组成的子图 $Y’$，从而得出结论。
• 引理4 ：对于 $k \geq 0$，$\chi_{um}(H_k) \geq 2^{k + 2} - 2k - 3$。同样通过归纳证明，当 $k = 0$ 时，$\chi_{um}(H_0) = 1$；当 $k > 0$ 时，利用归纳假设和引理3得出结果。
• 定理2 </