4、医疗领域机器学习中的概率理论与医学数据处理

医疗领域机器学习中的概率理论与医学数据处理

1. 条件概率与贝叶斯定理

条件概率是针对两个连续的非独立事件计算的概率，也可定义为在已知前一个事件结果的情况下，后一个事件发生的概率，用 $P(B|A)$ 表示，即 $A$ 发生时 $B$ 发生的概率，其公式为：
[P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}]

贝叶斯定理以 18 世纪英国数学家托马斯·贝叶斯命名，是条件概率的重要应用。该定理允许我们通过纳入额外信息来更新某一事件发生的概率。

例如，假设有两个互斥且结果已知的事件 $E_1$ 和 $E_2$，以及一个结果未知的事件 $E_3$。已知 $P(E_1)=0.4$，$P(E_2)=0.6$，$P(E_3|E_1)=0.1$，$P(E_3|E_2)=0.3$。若已知 $E_3$ 发生，求 $E_3$ 通过 $E_1$ 发生的概率，可使用贝叶斯定理公式：
[P(E_1|E_3)=\frac{P(E_3|E_1)P(E_1)}{P(E_3|E_1)P(E_1)+P(E_3|E_2)P(E_2)}]

再看一个学校招生的例子，申请入学的学生根据成绩排名入围，30%的申请者有机会通过成绩排名入学，其余学生在成绩排名入学结束后的现场轮次获得机会。若学生通过成绩排名入围，其入学机会为 50%；若在候补名单上通过现场轮次获得入学机会，其入学概率为 80%。若学生已入学，求其通过成绩排名入学的概率。
设通过成绩排名入围为事件 $E_1$，现场轮次获得机会为事件 $E_2$，入学为事件 $E_3$。则 $P(E_1)=0.3$，$P(E_2)=0.7$，$P(E_3|E_1)=0.5$，$P(E_3|E_2)=0.8$。