40、特征降维：光谱变换方法详解

特征降维：光谱变换方法详解

在数据处理和分析中，特征降维是一个重要的步骤，它可以帮助我们减少数据的维度，同时保留数据的关键信息。本文将详细介绍几种基于光谱变换的特征降维方法，包括典型分析、判别分析特征提取（DAFE）、非参数判别分析（NDA）和决策边界特征提取（DBFE）。

1. 典型分析

典型分析是一种常用的特征降维方法，它的目标是找到一个变换矩阵，使得不同类别在新的坐标轴上具有最佳的分离效果。

1.1 可分离性度量

设 $y = D^T x$ 是所需的变换，它生成一组新的坐标轴 $y$，在这组坐标轴上，类别具有最佳的分离效果。通过与主成分变换相同的方法，可以得到新坐标系中的类内和类间协方差矩阵：
- $C_{W,y} = D^T C_{W,x} D$
- $C_{A,y} = D^T C_{A,x} D$

其中，下标 $x$ 和 $y$ 分别表示矩阵对应的坐标系。需要注意的是，与主成分分析不同，这两个新的协方差矩阵不一定是对角矩阵。$D^T$ 的行向量定义了 $y$ 空间中的轴方向。设 $d^T$ 是一个特定的向量，它定义了第一个坐标轴，沿着这个坐标轴，类别将得到最佳的分离。则对应的类内和类间方差分别为：
- $\sigma_{W,y}^2 = d^T C_{W,x} d$
- $\sigma_{A,y}^2 = d^T C_{A,x} d$

我们的目标是找到特定的 $d$ 和最终的变换矩阵 $D^T$，使得 $\lambda = \frac{\sigma_{A,y}^2}{\sigma_{W,y}^2} = \frac{d^T C_{A,x} d}{d^T C_{W,x}