60、量子神经网络在分类任务中的应用

量子神经网络在分类任务中的应用

1. 基本概念与背景

在处理有标签数据（经典或量子）的分类问题时，量子神经网络（QNN）是一种有潜力的工具。它可以通过监督学习进行训练，其量子电路由一系列依赖参数的酉变换组成，作用于输入量子态。对于二进制分类，会在指定的读出量子位上测量单个泡利算符，测量输出即为QNN对输入态二进制标签的预测。

假设存在一个大型数据集，由带有二进制标签的字符串组成。为简化问题，假设标签无噪声，即每个字符串的标签都是正确的。给定一个包含S个样本及其标签的训练集，目标是利用这些信息正确预测未见过示例的标签。但这只有在标签函数具有底层结构时才能实现，如果标签函数是随机的，虽然可以从训练集中学习标签，但无法对未见过的示例标签做出预测。

以像素化图像分类为例，经典神经网络可以学习将新图像正确分类为狗或猫。这里我们直接转向能够学习分类数据的QNN，尽管“神经”一词与神经科学的联系仅具历史意义，但仍被机器学习社区沿用。

2. 量子神经网络的结构与工作原理

假设数据集由字符串 $z = z_1z_2 \ldots z_n$ 组成，其中每个 $z_i$ 取值为 +1 或 -1，二进制标签 $l(z)$ 也取值为 +1 或 -1。为简化，假设数据集包含所有 $2^n$ 个字符串。我们有一个作用于 $n + 1$ 个量子位的量子处理器，忽略辅助量子位的可能需求，最后一个量子位用作读出。

量子处理器对输入态执行酉变换 ${U_a(\theta)}$，每个酉变换作用于部分量子位，并依赖于连续参数 $\theta$，为简单起见，每个酉变换只有一个控制参数。选取一组L个这样的酉变换，构成酉算子 $U(\theta) = U_L(\t