51、线性动态系统与切换自回归模型解析

线性动态系统与切换自回归模型解析

1. 牛顿弹道物体轨迹估计

在对牛顿弹道物体轨迹进行估计时，我们基于有噪声的观测数据来推断物体的未知轨迹。设 (y^{\prime}(t) \equiv \frac{dy}{dt})，可以得到 (x^{\prime}) 和 (y^{\prime}) 的更新方程：
[
\begin{cases}
x^{\prime}((\tilde{t} + 1)\Delta) = x^{\prime}(\tilde{t}\Delta) + \frac{f_x(\tilde{t}\Delta)\Delta}{m}\
y^{\prime}((\tilde{t} + 1)\Delta) = y^{\prime}(\tilde{t}\Delta) + \frac{f_x(\tilde{t}\Delta)\Delta}{m}
\end{cases}
]
为简化，令 (a_x(t) = \frac{f_x(t)}{m(t)})，(a_y(t) = \frac{f_y(t)}{m(t)})，且加速度随时间缓慢变化，有：
[
\begin{cases}
a_x((\tilde{t} + 1)\Delta) = a_x(\tilde{t}\Delta) + \eta_x\
a_y((\tilde{t} + 1)\Delta) = a_y(\tilde{t}\Delta) + \eta_y
\end{cases}
]
其中 (\eta_x) 和 (\eta_y) 是小噪声项。定义隐藏变量 (h_t \equiv [x^{\prime}(t), x(t), y^{\prime}(t),