8、图形模型与马尔可夫网络详解

图形模型与马尔可夫网络详解

1. 图形模型概述

图形模型（Graphical Models，GMs）是用于描述分布中变量独立性和依赖性关系的工具。它将图论与概率理论相结合，为研究各种概率模型及相关算法提供了一个统一的框架。

图形模型的主要作用有两个方面：
- 建模 ：明确问题环境中所有潜在相关变量，并描述这些变量之间的相互作用。通常通过对联合概率分布形式的结构假设来实现，不同类型的图形模型对应着联合分布的不同因式分解性质。
- 推理 ：在构建好概率模型后，通过对分布进行推理来回答各种感兴趣的问题。这一步在计算上可能具有挑战性，因此将图形模型与精确的推理算法相结合是图形建模成功的关键。

图形模型大致可分为两类：
- 建模有用的模型 ：如信念网络、马尔可夫网络、链图和影响图等。
- 推理算法表示有用的模型 ：如因子图和连接树等。

2. 马尔可夫网络

马尔可夫网络（Markov Networks，MNs）是一种重要的图形模型，它基于无向图来定义联合概率分布。

2.1 基本概念

• 势函数（Potential） ：势函数 $\varphi(x)$ 是变量 $x$ 的非负函数，即 $\varphi(x) \geq 0$。联合势函数 $\varphi(x_1, \ldots, x_n)$ 是一组变量的非负函数。分布是满足归一化条件 $\sum_x \varphi(x) = 1$ 的势函