11、核计算与随机变量相关知识详解

核计算与随机变量相关知识详解

1. 命题证明

1.1 命题 44 的证明

设 (r) 是最高阶为 (2q - 1) 的自然样条函数，且满足 (r^{(q)}(0) = \cdots = r^{(2q - 1)}(0) = r^{(q)}(1) = \cdots = r^{(2q - 1)}(1) = 0)。
通过分部积分可得：
(\int_{0}^{1} r^{(q)}(x)s^{(q)}(x)dx = \left[r^{(q)}(x)s^{(q - 1)}(x)\right] 0^1 - \int {0}^{1} r^{(q + 1)}(x)s^{(q - 1)}(x)dx)
由于边界条件，经过多次分部积分后得到：
(\int_{0}^{1} r^{(q)}(x)s^{(q)}(x)dx = (-1)^{q - 1}\int_{0}^{1} r^{(2q - 1)}(x)s’(x)dx = (-1)^{q - 1}\sum_{j = 1}^{N - 1} r^{(2q - 1)}(x_j^+)[s(x_{j + 1}) - s(x_j)] = 0)
其中 (s(x_i) = 0)，(i = 1, \cdots, N)，且 (r^{(2q - 1)}(x_j^+)) 是 (r) 的 ((2q - 1)) 阶右导数，在 (x_j < x < x_{j + 1}) 上为常数。
进而有不等式：
(\int_{0}^{1} {g^{(q)}(x)}^2dx = \int_{0}^{1} {r^{(q)}(x) + s^{(q)}(x)}^2dx = \int_{0}^{1} {r^{(q)}(x)}^