5、线性与紧致算子：理论与应用

线性与紧致算子：理论与应用

1. 投影定理相关

在投影定理中，存在这样的关系：可写成 $y \in M \cap (M^{\perp})^{\perp}= M$ 以及 $z \in M^{\perp} \cap (M^{\perp})^{\perp}$。由于 $M^{\perp} \cap (M^{\perp})^{\perp} \subseteq M^{\perp} \cap (M^{\perp})^{\perp}= {0}$，这意味着 $z = 0$。

2. 线性算子

设 $X_1$ 和 $X_2$ 分别是具有范数 $|\cdot | 1$ 和 $|\cdot |_2$ 的线性空间，$T : X_1 \to X_2$ 是将 $X_1$ 中的元素线性变换为 $X_2$ 中元素的映射，这样的 $T$ 被称为线性算子。
- 像与核的定义
- 像：$Im(T) := {T x : x \in X_1} \subseteq X_2$
- 核：$Ker(T) := {x \in X_1 : T x = 0} \subseteq X_1$
- 像的维数被称为 $T$ 的秩。
- 有界线性算子 ：若对于每个 $x \in X_1$，存在常数 $C > 0$ 使得 $|T x|_2 \leq C|x|_1$，则称线性算子 $T : X_1 \to X_2$ 是有界的。有界线性算子 $T$ 的集合记为 $B(X_1, X_2)$，当 $X_1 = X_2 = X$ 时，记为 $B(X)$。
- 命题 21