生成树计数

最新推荐文章于 2020-04-03 18:03:27 发布

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#生成树计数 #SPOJ #生成函数 #组合数学

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本文详细探讨了SPOJ中的PT07D问题，涉及无标号有根树和无标号无根树的计数。通过解析算法，介绍了如何利用递推关系和数学公式高效求解四种不同类型的树的数量。对于无标号无根树，通过重心的概念进行求解，并讨论了偶数节点时的特殊情况。文章提供了O(n^2)和O(n log^2 n)两种复杂度的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

SPOJ PT07D
1：求n个点有标号无根树个数
2：求n个点有标号有根树个数
3：求n个点无标号有根树个数
4：求n个点无标号无根树个数

Solution

我太菜了现在才来做这道题
1和2很好求，略去
设fn为n个点无标号有根树，考虑删去根得到了一些无标号有根树
因为是无标号，考虑一种大小为k的子树，贡献为 $1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+...={1\over 1-x^k}$
且有fk种，所以 $F(x)=x\prod_{k>=1}{1\over (1-x^k)^{f_k}}$
两边取ln $\ln F(x)=ln x-\sum_{k>=1}f_k\ln (1-x^k)$
两边求导 ${F'(x)\over F(x)}={1\over x}+\sum_{k>=1}kf_k{x^{k-1}\over 1-x^k}$
$xF'(x)=F(x)+F(x)\sum_{k>=1}kfk{x^k\over 1-x^k}$
两边取[x^n]， $nfn=fn+\sum_{i=1}^{n-1}fi[x^{n-i}]\sum_{k>=1}kfk{x^k\over 1-x^k}$
注意到 ${x^k\over 1-x^k}=x^k+x^{2k}+x^{3k}+....$ ，即 $(n-1)fn=\sum_{i=1}^{n-1}fi\sum_{k|n-i}kfk$
后面的东西可以提前记一下然后O(n^2)递推
当然也可以用分治NTT做到O(n log^2 n)

无标号无根树
首先先求出有根树fn，设无根树为hn，考虑如何唯一表示一棵树
容易想到重心，那么我们把根不是重心的全部减掉，不是重心就是有一个子树大小>n/2
$h_n=f_n-\sum_{i=1}^{n/2}f_if_{n-i}$
注意当n为偶数时有两个重心，所以多减了两边子树相同的情况，要加回来

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e3+5;

int n,k,p,f[N],g[N];

int pwr(int x,int y) {
	if (y<0) y+=p-1;
	int z=1;x%=p;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%p)
		if (y&1) z=(ll)z*x%p;
	return z;
}

int solve_f(int n) {
	f[1]=1;fo(j,1,n) g[j]=1;
	fo(i,2,n) {
		f[i]=0;
		fo(j,1,i-1) f[i]=(f[i]+(ll)f[j]*g[i-j]%p)%p;
		f[i]=(ll)f[i]*pwr(i-1,p-2)%p;
		for(int j=i;j<=n;j+=i) g[j]=(g[j]+(ll)i*f[i]%p)%p;
	}
	return f[n];
}

int solve_h(int n) {
	int ans=solve_f(n);
	fo(i,1,n/2) ans=(ans-(ll)f[i]*f[n-i]%p+p)%p;
	if (!(n&1)) {
		ans=(ans+(ll)f[n/2]*f[n/2]%p)%p;
		ans=(ans-(ll)f[n/2]*(f[n/2]-1)%p*pwr(2,p-2)%p+p)%p;
	}
	return ans;
}

int main() {
	while (scanf("%d%d%d",&k,&n,&p)!=EOF) {
		if (k==1) printf("%d\n",pwr(n,n-2));
		if (k==2) printf("%d\n",pwr(n,n-1));
		if (k==3) printf("%d\n",solve_f(n));
		if (k==4) printf("%d\n",solve_h(n));
	}
	return 0;
}