[51nod1190]最小公倍数之和V2

Description

给出a,b，求

$$\sum_{i=a}^{b}lcm(i,b)$$
a,b<=1e9,数据组数<=1e5,答案对1e9+7取模

Solution

看到gcd想反演（然而这个是lcm）
这个反演不是正常套路
坑了我好久才跳出来
首先

$$ans=b\sum_{d|b}{1\over d}\sum_{i=a}^{b}i[\gcd(i,b)=d]$$
$$=b\sum_{d|b}\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}i[gcd(i,{b\over d})=1]$$
然后到这里就有些推不下去了
但其实有种操作叫做$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$
所以我们可以强行把上面这个式子套上mu
而不是用反演的常用套路设f(x)和g(x)把mu套进去
如果你去设f(x)和g(x)你会发现g(x)也非常难化
我们继续 $$ans=b\sum_{d|b}\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}i\sum_{d'|\gcd(i,{b\over d})}\mu(d')$$
$$=b\sum_{d|b}\sum_{d'|{b\over d}}\mu(d')\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}[i \mod d'=0]$$
$$={b\over 2}\sum_{d|b}\sum_{d'|{b\over d}}\mu(d')d'(\lfloor{b\over {dd'}}\rfloor+\lceil{a\over {dd'}}\rceil)(\lfloor{b\over {dd'}}\rfloor-\lceil{a\over {dd'}}\rceil+1)$$
根据套路枚举T=dd’，
$$ans={b\over 2}\sum_{T|b}(\lfloor{b\over T}\rfloor+\lceil{a\over T}\rceil)(\lfloor{b\over T}\rfloor-\lceil{a\over T}\rceil+1)\sum_{d|T}\mu(d)d$$
这样我们就只需要枚举b的约数就可以了
但是还有一部分要处理，就是那个$\sum_{d|T}mu(d)d$
显然可以线筛但是b太大不兹瓷
根据莫比乌斯反演的性质我们可知$f(T)=\sum_{d|T}mu(d)d$时f(T)也是积性函数
那么我们可以知道$f(p^k)=1-p$
然后再枚举约数的同时求出f就可以做到$O(\sqrt n)$处理询问
于是总复杂度大概是$O(T\sqrt n)$，在数据随机的情况下可以在1s内通过此题

UPD:写完才发现上面很多个下取整是没必要写的
不过没关系大家看得懂就行了_ (:з」∠) _
各位dalao有什么更好的方法欢迎拍打喂食