[AGC032F]One Third

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#AGC032F #微积分 #概率与期望

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探讨了在一个长度为1的环上随机切n刀后，取最接近1/3长度部分的期望值问题。通过几何概率转换，将问题简化为在特定区间内随机撒点，分析相邻异色点间距离的最小期望值。

Description

一个长度为1的环，随机角度切n刀，对于每一块长度为x的，取最接近1/3的，即|x-1/3|最小的那一块
问这个最小值的期望
n<=10^6

Solution

感觉还是有一些不明觉厉
首先，对于一次在x的划分，在x画红线，在x+π/3画蓝线，在x-π/3画绿线，问题变成任意两条异色线之间的夹角的最小值
由于所有线是对称?的所以可以只看某一段
也就是说，令第一次划分的x为0，x+π/3为1/3，问题变成在(0,1/3)中撒n-1个随机颜色得随机点，其中相邻异色点距离的最小值的期望
先不考虑异色，问题是在(0,1)中撒n-1个点，距离最小值的期望
考虑概率函数P(mn>=x)，每一段都>=x的话我们可以从每一段中挖去x，剩余的点在(1-nx)中随机，所以P(mn>=x)=(1-nx)^(n-1)
积分一下可以得到最小值的期望为1/n^2
考虑第k小的期望E[k]，E[k]-E[k-1]可以把所有<k的线段删去并把所有>=k的线段减去E[k-1]
$E[k]−E[k−1]=1(N−k+1)2(1−∑i=1k−1E[i]−E[k−1]∗(N−k+1))E[k]-E[k-1]={1\over (N-k+1)^2}(1-\sum_{i=1}^{k-1}E[i]-E[k-1]*(N-k+1))$
归纳可得 $E[k]−E[k−1]=1N(N−k+1)E[k]-E[k-1]={1\over N(N-k+1)}$
设P1(k)表示至少前k段颜色相同的概率，显然P1(k)=(1/3)^k
那么答案为 $∑i=1np1(i−1)(E[i]−E[i−1])=∑i=1n13i−1N(N−i+1)\sum_{i=1}^{n}p1(i-1)(E[i]-E[i-1])=\sum_{i=1}^{n}{1\over 3^{i-1}N(N-i+1)}$
由于我们是当总长为1算所以最后还需要再乘以1/3

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e6+5,Mo=1e9+7,inv3=(Mo+1)/3;

int n,inv[N];

int main() {
	scanf("%d",&n);
	inv[0]=inv[1]=1;fo(i,2,n) inv[i]=(ll)(Mo-Mo/i)*inv[Mo%i]%Mo;
	int ans=0;
	for(int pw=inv3,i=1;i<=n;i++,pw=(ll)pw*inv3%Mo) (ans+=(ll)inv[n-i+1]*pw%Mo)%=Mo;
	printf("%d\n",(ll)ans*inv[n]%Mo);
	return 0;
}