AcWing 1212.地宫取宝

原创已于 2023-11-15 21:56:54 修改 · 147 阅读

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#算法 #动态规划

于 2023-11-14 10:32:03 首次发布

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文章讲述了如何使用四重循环的动态规划方法解决地宫取宝问题，强调了初始化策略和数组边界处理的重要性。作者详细解释了初始状态设置和数组越界调整的方法，并给出了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

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解题思路

1.分析时间复杂度

题目中说明:
$1\le n,m \le50$ ,
$\le k \le 12$ ,
$\le C_i \le 12$ ,
由于 $\approx 4*10^5 \lt 10^8$ ,
因此本题可以考虑用一个四重循环的dp解决。

2.闫氏dp分析

闫氏dp分析

3.一些小问题

（1）关于初始化：

刚开始时小明在 $(1, 1)$ 的位置，这个时候就有取 $(1, 1)$ 这个位置的宝贝和不取的选择。

如果不取：那么 $f [1] [1] [0] [- 1] = 1$ ，这里之所以让 $c = - 1$ ，是因为 $k = 0$ 时，小明没有取任何宝物，所以此时 $c$ 应该比最小的宝贝的价值小，也就是比0小。这样如果下一个宝贝的价值为0的话才能取到，否则如果此时 $c = 0$ ，那么下一个宝贝的价值如果为0就取不到。

如果取：那么 $f [1] [1] [1] [w [1] [1]] = 1$ 。

（2）关于数组越界

由于-1超过数组的下界，因此对于输入的 $w [i] [j]$ 也要有所处理，将其范围变成 $[1, 13]$ ，这样宝物的最小价值就为1，可以让0表示比最小价值还小的值。

C++代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 51;
const int P = 1e9+7;
int n,m,k,w[N][N],f[N][N][13][14];
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> w[i][j];
            w[i][j]++;
        }
    f[1][1][0][0] = 1;
    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(i == 1 && j == 1) continue;
            for(int K = 0; K <= k; K++)
            {
                for(int c = 0; c <= 13; c++) #从0开始是因为有一种方案可能一直都没有取宝贝
                {
                    // 不取
                    f[i][j][K][c] = (f[i-1][j][K][c] + f[i][j-1][K][c]) % P; 
                    if(K > 0 && c == w[i][j]) // 取
                    {
                        for(int C = 0; C < c; C++)
                        {
                            f[i][j][K][c] = (f[i-1][j][K-1][C] + f[i][j][K][c]) % P;
                            f[i][j][K][c] = (f[i][j-1][K-1][C] + f[i][j][K][c]) % P;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 0; i <= 13; i++)
    {
        res = (res + f[n][m][k][i]) % P;
    }
    cout << res;
}