AcWing 1205.买不到的数目

题目描述

原题链接:1205.买不到的数目

解题思路
1.有解的情况

g c d ( a , b ) = c > 1 gcd(a, b) =c\gt1 gcd(a,b)=c>1的时候,设 a = p c , b = q c a=pc,b=qc a=pc,b=qc,则 a x + b y = k c ax+by=kc ax+by=kc,那么一个数只要它不能被 c c c整除,那么它就不能被 a a a b b b组合而成,因此就没有解。

2.方法1:打表查看规律

n = 3 n=3 n=3时,

/*
3 4 5
3 5 7
3 7 11
3 8 13
3 10 17
*/

可以看到 m m m每增加1,结果都会增加2

继续尝试当 n = 4 n=4 n=4时:

/*
4 5 11
4 7 17
4 9 23
4 11 29
4 13 35

可以看出当 m m m每增加1,结果都会增加3。

大胆猜测,当 n = 3 n=3 n=3时,结果应该是 2 m − x 1 2m-x_1 2mx1
n = 4 n=4 n=4时,结果应该是 3 m − x 2 3m-x_2 3mx2
因此得出规律,结果应该是 ( n − 1 ) ∗ m − x (n-1)*m -x (n1)mx,而根据对称性, n n n m m m的形式应该相同,因此变形一下就是 ( n − 1 ) ∗ ( m − 1 ) − x (n-1)*(m-1)-x (n1)(m1)x,带入一下数字可以求得 x = 1 x=1 x=1
因此最后的公式就是:
r e s = ( n − 1 ) ∗ ( m − 1 ) − 1 res=(n-1)*(m-1)-1 res=(n1)(m1)1

3.方法2:动态规划

枚举从 1 1 1 1 0 6 + 100 10^6+100 106+100的数,假如这个数比 n n n m m m大,那么说明这个数就可以被 n n n m m m拓展而来。
即: s t [ i ] = s t [ i − n ] ∣ s t [ i − m ] st[i]=st[i-n]|st[i-m] st[i]=st[in]st[im]

代码
方法1( o ( 1 ) o(1) o(1)
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    cout << (n-1) * (m-1) - 1;
    return 0;
}
方法2( o ( n ) o(n) o(n)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000100;
int n,m;
bool st[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    st[0] = true;
    st[n] = true;
    st[m] = true;
    for(int i = min(n, m); i < N; i++)
    {
        if(i-m >= 0) st[i] = st[i-m];
        if(i-n >= 0) st[i] = st[i] | st[i-n];
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i < N; i++)
        if(!st[i]) ans = i;
    cout << ans;
}
### 连通块内节点计数算法 #### 广度优先搜索(BFS)实现连通块计数 广度优先搜索是一种适合用于遍历或搜索图形结构的方法。对于连通块内的节点计数问题,可以采用BFS来解决。 给定一个无向图G=(V,E),其中V代表顶点集合而E代表边集。为了统计每一个连通分量中的结点数目: - 使用队列辅助完成层次化探索过程; - 维护访问标记数组`vis[]`记录哪些位置已经被处理过; 当遇到未被访问过的节点u时启动新的BFS进程,并在此过程中累加当前联通区域大小直至无法继续扩展为止[^1]。 ```python from collections import deque def bfs_count(graph, start_node): queue = deque([start_node]) visited = set() count = 0 while queue: node = queue.popleft() if node not in visited: visited.add(node) count += 1 for neighbor in graph[node]: if neighbor not in visited: queue.append(neighbor) return count ``` 此方法能够有效地找出并计算出从指定起点可达的所有其他节点的数量,在面对大规模稀疏矩阵的情况下表现尤为出色[^2]。 #### 深度优先搜索(DFS)实现连通块计数 除了BFS之外,也可以利用递归形式的深度优先搜索来进行相同的操作。这种方法同样依赖于栈机制(隐式的函数调用堆栈),并且通过回溯的方式逐步深入到子树最底部再返回上级节点直到整个分支都被扫描完毕[^3]。 ```python def dfs_count(graph, current_node, visited=set()): if current_node in visited: return 0 visited.add(current_node) total = 1 for next_node in graph[current_node]: if next_node not in visited: total += dfs_count(graph, next_node, visited) return total ``` 这两种方式都可以很好地解决问题,具体选择取决于实际应用场景和个人偏好。通常来说,由于Python存在最大递归深度限制,默认情况下可能不适合非常深嵌套情况下的DFS操作[^4]。
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