从零开始学《离散数学》-电子科技大学

1.1.1集合论基础 集合的初见

什么是集合？

定义

A set is a group of objects. (simplest way)

By a set we mean any collection M into a whole of definite distinct objects m (which

we called elements of M) of our perception or of our thought. (Cantor’s way)

集合 是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称

为这个集合的元素。(In chinese)

外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 +

替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC 公理化集合论)

例子

所有英文字母

所有小于 100 的正奇数

中国所有的残疾人

世界上所有的数学家

某植物园的所有植物

天安门广场所有的路灯和树

集合的符号表示

通常情况下

用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A, B, C, · · · , A1, B1, C1, · · ·

用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·

常用集合 (我们的老朋友)

自然数集合 N: 0, 1, 2, 3, · · ·

整数集合 Z: · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · ·

有理数集合 Q 与实数集合 R，等等

属于关系

若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ A

若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a ∈/ A

枚举法

列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · · ) 表示。

A = { a, b, c, d}

B = { 2, 4, 6, 8, 10, · · · }

叙述法

通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。

P = { x|P(x)}

A = { x|x是英文字母中的元音字母}

B = { x|x ∈ Z, x < 10}

C = { x|x = 2k, k ∈ N}

文氏图/Venn图

文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆

形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

基数

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|

若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)

若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

A = { a, b, c}, |A| = 3

B ={  a, { b, c} }, |B| = 2

1.2.1集合论基础 特殊集合与集合间关系

空集

Definition

不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.

Example

设 A = { x|x ∈ R, x2 < 0}, 则 A = ∅

|∅| = 0, |{ ∅}| = 1

空集是绝对唯一的。

全集

Definition

针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.

在文氏图一般使用方形表示全集。

Example

在立体几何中，全集是由空间的全体点组成的；

在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成的。

全集是相对唯一的。

集合的相等关系

元素的基本特性

集合中的元素是无序的。{ 1, 2, 3, 4} 与 { 2, 3, 1, 4} 相同。

集合中的元素是不同的。{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 与 { 1, 2, 3, 4} 相同。

citing example

设E = { x|(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0, x ∈ R}, F = { x|x ∈ Z+, x2 < 12},

可见 E 和 F 具有相同的元素 { 1, 2, 3}, 此时称两个集合相等。

Theorem (外延性原理)

两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B 不相等，记为A ̸= B.

子集和真子集

citing example

设 A = { BASIC, PASCAL, ADA}, B = { ADA, PASCAL},

此时 A 中含有 B 中所有的元素，这种情况称为A 包含 B.

Definition

设 A, B 是任意两个集合，

如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈ A.

如果 B ⊆ A 并且 A ̸= B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记作B ⊂ A，否则记作B ̸⊂ A.

”⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A ⇔ 对 ∀x, 如果 x ∈ B, 则 x ∈ A.

文氏图:B ⊆ A

由子集定义可有

∅ ⊆ A

A ⊆ A

Example

已知 A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 1, 2, 4}, C = { 2, 3}, D = { 3, 2}，可见

A ⊆ A, B ⊆ A, C ⊆ A, D ⊆ A,

C ⊆ D, D ⊆ C, 同时, C = D

证明集合相等

Theorem

设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A

⋆⋆⋆ 上面的定理非常重要，这是证明集合相等的一种非常有效的方式。

证明框架

证明：

首先证明 A ⊆ B：∀x ∈ A, · · · , x ∈ B. ∴ A ⊆ B.

其次证明 B ⊆ A：∀x ∈ B, · · · , x ∈ A. ∴ B ⊆ A.

由以上两点，可知 A=B。

n 元集的子集

Example

设 A = { a, b, c}，求出 A 的所有子集。

解：由于 |A|=3，因而 A 的子集可能包含的元素个数 m = 0, 1, 2, 3

m = 0, 即没有任何元素，也就是空集 ∅

m = 1, 从 A 中任取 1 个元素，则有 C13 = 3 个：{ a}, { b}, { c}

m = 2, 从 A 中任取 2 个元素，则有 C23 = 3 个：{ a, b}, { b, c}, { a, c}

m = 3, 从 A 中任取 3 个元素，则有 C33 = 1 个：{ a, b, c}

以上 8 个集合就是 A 的所有子集。

⋆ 推广: 对于任意 n 元集合 A，它的 m 元 (0 ⩽ m ⩽ n) 子集个数为  个,

所以不同的子集个数为：

幂集

Definition

设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即，

x ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A

P(A) = { x|x ⊆ A}

Example

设 A = { a, b, c}，B = a, { b, c} ，求他们的幂集 P(A) 和 P(B)。

解：P(A) = ∅, { a}, { b}, { c}, { a, b},{ b, c}, { a, c}, { a, b, c}

P(B) = ∅, { a}, { b, c} ,{ a, { b, c}}

说明

幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。

1.3.1集合论基础 集合的运算

并集

Definition

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的并集定义为：

A ∪ B = { x|x ∈ A 或 x ∈ B}

Example

集合 { 1, 3, 5} 和集合 { 1, 2, 3} 的并集是 { 1, 2, 3, 5};

若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ∪ B 是选修了音乐欣赏或选修了西方文学或两门课都同时选修的学生.

交集

Definition

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交集定义为：A ∩ B = { x|x ∈ A 并且 x ∈ B}

Example

集合 { 1, 3, 5} 和集合 { 1, 2, 3} 的交集是 { 1, 3};

若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ∩ B 是即选修了音乐欣赏又选修了西方文学的学生.

补集

Definition

设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：

A = { x|x ∈/ A}

Example

集合 { 1, 3, 5} 对于全集 { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 的补集是 { 2, 4, 6, 7, 8};

若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，全集 U 是所有在校学生，则 A的 补集是没有选修音乐欣赏的学生.

差集

Definition

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差集定义为：A − B = { x|x ∈ A 并且 x ∈/ B}

Example

集合 { 1, 3, 5} 和集合 { 1, 2, 3} 的差集是 { 5};

若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A − B 是选修了音乐欣赏但没有选修西方文学的学生.

对称差集

Definition

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称差集定义为：A ⊕ B = { x|(x ∈ A 并且 x ∈/ B)或者(x ∈/A 并且 x ∈ B)}

Example

集合 { 1, 3, 5} 和集合 { 1, 2, 3} 的对称差集是 { 2, 5};

若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ⊕ B 是只选修了音乐欣赏和西方文学两门课中某一门的学生.

并集和交集的扩展

Definition

设 A1, A2, · · · , An 是任意 n 个集合，则这 n 个集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合成员的元素的集合，即

 

Definition

设 A1, A2, · · · , An 是任意 n 个集合，则这 n 个集合的交集是包含那些属于这组集合中所有集合成员的元素的集合，即

Example

设 A = { 0, 2, 4, 6, 8}, B = { 0, 1,