gcd辗转相除法

//比较简单的一篇随笔~~~
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
    if(b==0)
    return a;
    else
    gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int a,b;
    while(~scanf("%d%d",&a,&b))
    {
        cout<<gcd(a,b)<<endl;
    }
}

 

 

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

证法一

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r

因此d也是（b,a mod b）的公约数

因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

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