蓝桥杯-地宫取宝


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解题代码

#include<iostream>

using namespace std;

const int N =55,MOD=1000000007;
int n,m,k;
int f[N][N][13][14],w[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m  >> k;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                cin >> w[i][j];
                w[i][j]++;
            }
            
    f[1][1][1][w[1][1]]=1;
    f[1][1][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i==1&& j==1) continue;
            for(int u=0;u<=k;u++)
                for(int v=0;v<=13;v++)
                {
                    int &val = f[i][j][u][v];
                    val = (val+f[i-1][j][u][v])%MOD;
                    val = (val+f[i][j-1][u][v])%MOD;
                    if(u>0 && v==w[i][j])
                    {
                        for(int c=0;c<v;c++)
                        {
                            val = (val+f[i-1][j][u-1][c])%MOD;
                            val = (val+f[i][j-1][u-1][c])%MOD;
                        }
                    }
                }
        }
        
    int res =0;
    for(int i=0;i<=13;i++) res=(res+f[n][m][k][i])%MOD;
    cout << res;
    return 0;
}
<think>好的,我现在要处理用户关于蓝桥杯竞赛中“地宫”题目的查询。首先,我需要确认用户的具体需求,他们可能想了解这个题目的解法、思路或者相关的编程技巧。 根据用户提供的引用内容,特别是引用[4],里面提到了题目的数据格式和基本要求,但可能没有详细的解法。我需要回忆或查找关于这个题目的常见解法。通常,这类动态规划问题在竞赛中比较常见,可能涉及多维DP状态的设计。 接下来,我需要分析题目要求。题目要求从n×m的网格中,从左上角走到右下角,每次只能向右或向下移动,并且收集恰好k个物,且每次拿的物价值必须严格递增。这明显是一个动态规划问题,需要记录位置、已收集的物数量以及当前最大价值的状态。 然后,我需要考虑动态规划的状态设计。通常,四维DP可能适用:dp[i][j][c][v]表示在位置(i,j)时,已经收集了c个物,且当前最大价值为v的方案数。不过,这样的状态设计可能会导致较高的时间和空间复杂度,需要优化。 还要注意题目中的数值范围,比如n和m最大为50,k为12,物价值Ci最大为12。因此,状态数可能是50×50×12×13,这在合理范围内,但需要确认是否可行。同时,由于结果要对1e9+7模,需要注意每一步都进行模操作。 接下来,我需要考虑初始化条件和状态转移。初始位置(0,0)处可以选择拿或不拿物,因此初始状态可能有两种情况。状态转移时,每个位置可以从上方或左方转移而来,并且每次移动时,可以选择拿当前物(如果其价值大于之前最大价值)或不拿。 可能遇到的难点包括:如何处理物价值的严格递增,以及如何高效地管理状态以避免重复计算。此外,物价值可能为0,需要特别处理,比如将价值整体加1,以避免数组索引的问题。 最后,需要编写代码框架,包括循环结构、状态转移方程以及模操作。同时,要注意测试样例的正确性,例如引用[4]中的样例输入,确保输出符合预期。 总结下来,解题步骤包括:分析题目要求,设计动态规划状态,确定状态转移方程,处理边界条件,优化空间复杂度(例如使用滚动数组),并编写代码实现。同时,需要注意大数模和可能的优化策略,如记忆化搜索或预处理。</think>### 蓝桥杯地宫”题目解析 #### 题目概述 给定一个$n \times m$的网格,每个格子存放价值为$C_i$的物。要求从左上角$(0,0)$走到右下角$(n-1,m-1)$,每次只能向右或向下移动,且需**恰好k个物**,且每次必须满足**严格递增**的价值顺序。求满足条件的路径总数(结果对$10^9+7$模)[^4]。 #### 解法思路 ##### 1. 动态规划设计 定义四维状态数组$dp[i][j][c][v]$,表示: - 当前位置$(i,j)$ -物数量$c$ - 当前持有物的最大价值$v$ 状态转移方程: $$ dp[i][j][c][v] = \sum \begin{cases} \text{来自上方或左方} \\ \text{若当前物价值$C_{i,j} > v$,则可选择拾} \end{cases} $$ ##### 2. 关键步骤 1. **初始化**: - 起点$(0,0)$处**不物**:$dp[0][0][0][0] = 1$ - 起点$(0,0)$处**物**:$dp[0][0][1][C_{0,0}+1] = 1$(价值整体+1避免0索引问题) 2. **状态转移**: ```python for i in range(n): for j in range(m): for c in range(k+1): for v in range(14): # 价值范围0~12,整体+1后为1~13 # 不当前物 if i > 0: dp[i][j][c][v] += dp[i-1][j][c][v] if j > 0: dp[i][j][c][v] += dp[i][j-1][c][v] # 当前物(需满足严格递增) current_val = grid[i][j] + 1 if c > 0 and current_val > v: if i > 0: dp[i][j][c][current_val] += dp[i-1][j][c-1][v] if j > 0: dp[i][j][c][current_val] += dp[i][j-1][c-1][v] ``` ##### 3. 复杂度优化 - **空间优化**:使用滚动数组压缩空间 - **价值离散化**:将物价值映射为连续整数 - **边界处理**:对$i=0$或$j=0$的特殊情况单独处理 #### 代码框架(Python示例) ```python MOD = 10**9 + 7 n, m, k = map(int, input().split()) grid = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)] # 四维DP数组初始化 dp = [[[[0]*14 for _ in range(k+2)] for __ in range(m)] for ___ in range(n)] # 初始状态 if grid[0][0] == 0: dp[0][0][1][0] = 1 # 特殊处理价值0的情况 else: dp[0][0][1][grid[0][0]+1] = 1 dp[0][0][0][0] = 1 # 状态转移 for i in range(n): for j in range(m): if i == 0 and j == 0: continue for c in range(k+1): for v in range(14): # 从上方或左方转移... # 具体实现参考上述状态转移方程 # 每一步模操作 dp[i][j][c][v] %= MOD # 结果统计:右下角所有可能价值的总和 result = sum(dp[n-1][m-1][k][v] for v in range(14)) % MOD print(result) ``` #### 相关引用 题目数据范围与要求参考蓝桥杯官方竞赛说明,动态规划优化技巧可参考算法解析文献[^2][^3]。
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