Ahu_iii的博客

本文探讨了几种非传统的向量空间及其子空间的性质。首先，矩阵空间被视为一种向量空间，其中上三角矩阵、对称矩阵和对角矩阵构成其子空间，并讨论了它们的维数计算。通过维数定理，分析了对称矩阵空间与上三角矩阵空间的和空间的维数。其次，文章将微分方程的解集视为向量空间，并以二阶微分方程为例，展示其解空间的基与维数。最后，讨论了四维空间中满足特定条件的向量子空间的维数。这些例子展示了向量空间概念的广泛适用性及其在数学中的多样化应用。

本讲将详细讲解矩阵A的四种基本子空间，前面已经讲过列空间和零空间，这里继续引入行空间和左零空间的概念。

先前听完这一讲觉得有些冗长，本讲的目的其实在于让大家了解这些术语的定义，以及区分开一些意义相近的术语，一开始可能会产生一些意义上的混乱，但在往后的学习中会经常提及这些术语，这里不必太纠结。

本讲详细探讨了线性方程组$AX=b$的求解过程及其解的结构。首先，通过消元法分析矩阵$A$的线性相关性，得出方程组可解的条件，即$b$必须满足$A$行的线性组合为零时，$b$的相应组合也为零。接着，通过增广矩阵的行变换，进一步验证了可解性，并给出了求解特解$X_p$和通解$X_N$的具体步骤。特解通过将自由变量设为零求得，而通解则是特解与零空间向量的和。此外，本讲还讨论了矩阵的满秩情况，包括列满秩、行满秩和满秩方阵，分别对应方程组无解或有唯一解、必然有无穷多解以及有唯一解的情况。最后，总结了不同秩条件下$A

上一讲介绍了列空间和零空间，接下来我们开始讲解如何找出这些空间中的向量。

从这一讲开始正式进入线代的核心内容，即向量空间及子空间本讲将特别关注两类子空间：列空间和零空间。

现在，我们知道了什么是子空间，接下来学习如何从矩阵中构造出一个子空间首先我们知道向量空间对加法和数乘是封闭的，而列的线性组合包含了加法和数乘两种运算。由此我们有定义：矩阵A的列空间（Column Space），记作ColACol AColA或CAC(A)CA，由AAA所有列的线性组合构成。对于矩阵A132141，其列属于R3。

先前我们已经学习通过消元法求出上三角矩阵U(Upper Triangular Matrix），而接下来将引入LU分解的概念。这个方法可以让我们快速找出下三角矩阵L对于一个矩阵A，将它分解成ALUA=LUALU的形式就是LU分解。其中U为上三角矩阵，其主对角线元素均为主元；L为下三角矩阵，其主对角线均为1。LU分解的前提是矩阵A是可逆的，且不需要行交换。