【笔记】MIT_线性代数 第08讲 求解Ax=b、可解性、满秩

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这一讲将完整地解出线性方程组，并详细说明解的结构。

1. 求解$AX=b$

1.1 可解性

示例 1：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

我们知道通过消元可看出线性相关性
对于$A$，其行 $3$为行$1$与行$2$之和，那么在求解$AX=b$时，
$b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$，其中$b_3$为$b_1$与$b_2$之和，即$b_3=b_1+b_2$。
如：$b_1=1,b_2=5,b_3=6$

并且，若方程可解，且左侧对应行的线性组合为$0$，那么右侧常数的相同组合也必然为$0$。

示例 2：
我们将线性方程组 $AX=b$ 写成增广矩阵形式， $$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$$
增广矩阵 $[Ab]$ 经行变换化为， $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$。

为使方程组有解，因$A$中最后一行系数全为 $0$，对应地要求 $b_3-b_2-b_1=0$，即 $b_1+b_2=b_3$

因此对于$b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$，其中$b_3$必须满足$b_3=b_1+b_2$，所以当$b=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 6\end{array}\right]$时，方程组有解。

现在，我们有了可解性的定义：可解性（Solvability），即$AX=b$的有解条件。

前面讲列空间时提到，AX=b有解，当且仅当b属于A的列空间。

这次，我们给出另一种描述方式：
如果A的各行的线性组合得到零行，由于方程组两侧需要进行相同的消元操作，那么b中分量的相同组合也必须为零。

下面通过示例给出求解$AX=b$通解的运算步骤：

1. 先求一个特解$X_p$：将所有自由变量设为$0$，解出$AX=b$的主变量，得到特解。

示例 3：

我们将$b=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 6\end{array}\right]$代入（2）式中，得到增广矩阵$[Ab]$：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& 1\\ 0& 0& 2& 4& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

设$x_2=0，x_4=0$，将其写成方程组形式：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_3=1\\ 2x_3=3\end{array}$$
解得$x_1=-2$，$x_3=\frac{3}{2}$，此时便得到了一个特解：
$$X_p=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]$$

2. 再求$AX=0$的通解$X_N$，即零空间的任意向量：通解$X=X_p+X_N$

对此的解释是：
由于$A{X}_p=b$且$A{X}_N=0$，那么$A{X}_p+A{X}_N=b+0=b$，即对于$AX=b$某解，其与零空间任意向量之和仍成立。

因此对例 3，它的通解$X=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]+C_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

这里的零空间通解为上一讲中求解$AX=0$时所得
另外，对于特解$X_p$，其不可乘以任意常数，因为$A(C{X}_p)=C(A{X}_p)=Cb$。

现在，我们思考下此通解在几何上的图像是什么样的？
对于$X_N$，由于其是两个四维列向量的线性组合，所以是${\mathbb{R}}^4$上的二维子空间，即过原点的二维平面。
想象下，$X_N$是${\mathbb{R}}^4$上的二维平面，那么其加上$X_p$后，就是经过$X_p$的二维平面，即$X=X_p+X_N$。

2. 满秩

上一讲我们给出了矩阵秩的定义，即主元的个数，那么它与矩阵$A$有什么关系。

对于$m\times n$的矩阵$A$，其秩为$r$，有$r\le m$且$r\le n$，即主元个数不会超过行数或列数，并且每列至多有一个主元。

2.1 列满秩

列满秩就是矩阵的秩等于矩阵列数，即$r=n<m$

此时意味着矩阵中没有自由变量，最多有一个解，$N(A)$中只有零向量。
由此可知，列满秩时，对于$AX=b$，此时无解或有唯一解，对于$AX=0$，此时只有零向量解。

示例 4：

2.2 行满秩

行满秩就是矩阵的秩等于行数，即$r=m<n$

这种情况下，$b$为什么时，$AX=b$有解？
行满秩，表示每一行都有主元，不会出现零行，因此对任意$b$均有解。

由此可知，行满秩时，$AX=b$必然有无穷多解。

更详细的解释是：
对于$m\times n$的矩阵A，其必然是在 ${\mathbb{R}}^m$空间内，此时若其秩$r=m\le n$，意味着在$m$维空间中，$A$含$r$个线性无关的$m$维向量，其所有的线性组合必然覆盖整个${\mathbb{R}}^m$空间，显然此时$AX=b$必有无穷解。

2.3 满秩方阵

满秩方阵就是矩阵的秩等于行数等于列数，即$r=m=n$

此时求解$AX=b$，必然有唯一解。

示例 6：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]$$
$$R=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

满秩方阵的行最简形$R$为单位矩阵，此时有唯一解$X=b$。

总结：对$AX=b$，

1. $r=m=n$，有唯一解
2. $r=n\le m$，无解或有唯一解
3. $r=m<n$，必然有无穷多解
4. $r<m$且$r<n$，无解或有无穷多解