【笔记】MIT_线性代数 第06讲 列空间和零空间

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从这一讲开始正式进入线代的核心内容，即向量空间及子空间
本讲将特别关注两类子空间：列空间和零空间

1. 列空间

1.1 子空间的关系

首先我们知道，对于三维向量空间${\mathbb{R}}^3$，任意穿过原点的平面或直线都可构成子空间。

例：
我们设平面$P$和直线$L$为${\mathbb{R}}^3$上的两个子空间（直线$L$不在平面$P$上）

对于$P\cup L$，它不是${\mathbb{R}}^3$上的子空间，
因为任取P上某一向量和L上某一向量做加法，其结果并不在$P\cup L$上。

对于$P\cap L$,它们的交集只包含零向量，所以$P\cap L$也是${\mathbb{R}}^3$上的子空间。

由此我们有：

假设有两子空间S和T，$S\cap T$一定也是子空间，而$S\cup T$只有满足$S\subseteq T$或$T\subseteq S$时为子空间。

1.2 列空间与线性方程组的关系

示例 1：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

这是一个$4\times 3$的矩阵$A$，其包含了$3$个四维列向量，显然它的线性组合无法覆盖整个${\mathbb{R}}^4$，那么它就构成了${\mathbb{R}}^4$上的一个子空间，也称列空间。

由此我们可以更深刻地理解，对于$AX=b$中任意$b$都有解的前提是，其线性组合可以覆盖整个向量空间。
所以对$(1)$式求解$AX=b$，其线性组合无法覆盖整个${\mathbb{R}}^4$，因此不总有解。

那么右侧向量$b$为什么时，$AX=b$有解？
前面提到，A的列空间，即满足其所有列线性组合的结果依然在此空间内，
所以显然，当右侧向量$b$在该列空间内时，$AX=b$有解。

结论：$AX=b$有解，当且仅当右侧向量$b$属于矩阵 $A$的列空间

另外，$(1)$式中的$A$，其列3为列1和列2之和，它对$A$的线性组合没有任何帮助，即列3是线性相关的，可以去掉，那么$A$的列空间就是${\mathbb{R}}^4$中的二维子空间。

2. 零空间

满足$AX=0$的向量$X$的集合称为$A$的零空间（Null Spaces），即$AX=0$的解集，记作$NulA$或$N(A)$。

示例 2：
对于矩阵方程 $AX=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，其中 $X$ 为三维向量，那么$AX=0$ 的解集构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间。

由于$A0=0$，所以零空间必然包含零向量。

若$X=\left[\begin{array}{c}c\\ c\\ -c\end{array}\right]$，则 $AX=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ c\\ -c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$必然成立。
可知该零空间是${\mathbb{R}}^3$上一条过原点的直线，其通解可表示为$X=c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right],c\in \mathbb{R}$。

那么零空间是否是向量空间，即是否满足加法和数乘的封闭性？

设有向量$v$和$w$，其满足$Av=0$且$Aw=0$，
那么有$A(v+w)=Av+Aw=0+0=0$，并且$A(12v)=12(Av)=0$

可知零空间是向量空间。

构造子空间的方法：

1. 列空间：通过列线性组合。
2. 零空间：求解$AX=0$。