【笔记】MIT_线性代数 第07讲 求解零空间、秩、行简化

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上一讲介绍了列空间和零空间，接下来我们开始讲解如何找出这些空间中的向量。

1. 求解$AX=0$

1.1 秩

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
求解$AX=0$，同样用到消元法，此过程不会改变解，右侧向量也始终为$0$。

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 2& 4\end{array}\right]$$
此时主元2的位置都为0，意味着列1和列2是线性相关的，那么我们跳过列2，从列3继续消元。

$$A\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=U\text{\hspace{1em}(2)}$$

消元成上三角矩阵后，主元位置以阶梯的形式呈现，我们称这种形式为阶梯形式。
并且其主元只有$2$个，该数字称为矩阵的秩（rank）。

由此，我们给出矩阵秩的定义：矩阵$A$的秩（rank），即主元的个数。

由于消元过程不会影响解和零空间，因此，求解$AX=0$变为求解$UX=0$。

对于（2）式中的上三角矩阵
$$U=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
将列1和列3称为主列（主元列），也就是主元所在的列，
列2和列4称为自由列，即自由变量所在的列。

因此，$x_2$和$x_4$可以是任意数，我们只需解出$x_1$和$x_3$：

假设$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ 1\\ x_3\\ 0\end{array}\right]$，将 $U$ 写成方程组形式：$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+2x_4=0\\ 2x_3+4x_4=0\end{array}$

回代 $x_2=1$，$x_4=0$，得到$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_3+2=0\\ 2x_3=0\end{array}$

解得 $X_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，此即为 $AX=0$的一个特解。

同样地，将$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\\ x_3\\ 1\end{array}\right]$，回代后，得到$X_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

这样我们就找到了该零空间中另一个向量。

将$X_1,X_2$称为特解，那么整个零空间便是这些特解的线性组合，
即$X=C_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$。

通过以上求解过程，我们有：

对于$m\times n$的矩阵$A$，其有$n$个未知数，若主元有$r$个，即秩为$r$，对应地自由变量有$(n-r)$个，那么求解时有$r$个方程起作用。

1.2 行简化

对于阶梯形式的矩阵$U$，我们还可以对其进一步简化成简化行阶梯形式，即行最简形矩阵$R$。

$$U=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& -2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& -2\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$$
对（2）式中的U，我们继续向上进行消元，使得主元均变为1，就得到行最简形矩阵$R$。
求解$RX=0$就是$AX=0$的最简化形式。

将主元列和自由列分开，得到：
$$主元列I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]，自由列F=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\right]$$

对于解 $X=C_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$，因为对于给定的自由变量值，要使等式$AX=0$成立，即移到等式另一侧后是相反的，所以有如下关系：

$主变量解\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -2\end{array}\right]，自由变量值\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。

如何直接求解 $AX=0$：

构造零空间矩阵$N$，其各列由特解组成，使得$RN=0$。

若 $R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$，则 $N=\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right]$，即$R$的主元部分变为$N$的自由部分，自由部分取反变为$N$的主元部分。

对此的解释是：
因为$RX=0$，其中$R=\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]，X=\left[\begin{array}{c}{x}_{主元}\\ x_{自由}\end{array}\right]$，即 $\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{主元}\\ x_{自由}\end{array}\right]=0$。

可看作主元列与$F$乘以自由变量的和为$0$，即$x_{主元}+F{x}_{自由}=0$，那么 $x_{主元}=-F{x}_{自由}$。

这时给自由变量分配单位矩阵$I$，当自由变量部分对应单位矩阵时，$x_{主元}=-F$。

下面给出另一示例：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 2& 6& 8\\ 2& 8& 10\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 4& 4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=U$$
主元列 $2$ 个，自由列$1$个（即自由变量$1$个）。

写作方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_2+2x_3=0\end{array}$$
解出 $X_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$，通解 $X=C\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$。

上述为一般的方法。

若继续求 $R$：
$$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
分开主元部分和自由部分：$$主元部分\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]，自由部分\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$。
若自由变量分配单位矩阵，主变量就是自由部分取反，得 $$N=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$$

其中矩阵$N$各列由特解组成，对其特解线性组合即得到通解。

总结：

对于求解 $AX=0$，我们只需将$A$化简为$R$，主变量为$R$中自由部分取反，自由变量分配单位矩阵，就能得到特解矩阵$N$，$N$的各列即$AX=0$的特解，这些特解的线性组合就是$X$。