15、攻击树与多步攻防场景中的对手效用及信号博弈分析

攻击树与多步攻防场景中的对手效用及信号博弈分析

1. 攻击树中对手效用相关算法

在攻击树的研究中，涉及到对手效用的计算以及相关算法的分析。当博弈进行时，如果对手“被抓住”，游戏结束；若 $X_{i1}$ 成功，则下一个要玩的游戏是 $A_{x_{i1}=1}$。若游戏第一步未结束，下一步要进行的是游戏 $A_{x_{i1}=1}$ 的最佳移动 $x_{i2}$。

设 $(X_{i1}, \ldots, X_{ik})$ 是策略 $S$ 建议的试验顺序，公式 $x_{i1} \land \ldots \land x_{ik}$ 是布尔公式 $F$ 的最小项，因为否则 $S$ 永远不会获胜，且对手效用 $U(A)$ 将为负，这是不可能的。若存在 $x_{j}$ 使得 $x_{i1} \land \ldots \land x_{ij - 1} \land x_{ij + 1} \land \ldots \land x_{ik}$ 仍是 $F$ 的最小项，则原子攻击 $X_{ij}$ 可以跳过，会得到一个策略 $S’$ 且 $U(S’) > U(S)$，但由于 $S$ 是最优的，所以这种情况不可能发生，因此 $x_{i1} \land \ldots \land x_{ik}$ 是关键最小项。

1.1 无限重复模型中的精确效用算法

算法 3 用于计算完全自适应模型中的精确效用，具体步骤如下：
1. 找到原子攻击 $X$，使其具有最小的比率 $\frac{c}{1 - q - p}$（其中 $c = C + (1 - q - p)\Pi$）。
2. 递归计算：
- 公式为 $U_{\infty}(A)=\max\left{0, \f