8、静态非线性方程求解：ZD、GD与牛顿迭代法的综合剖析

静态非线性方程求解：ZD、GD与牛顿迭代法的综合剖析

在科学与工程领域，非线性方程的求解是一个常见且关键的问题。本文将深入探讨零ing动态（ZD）、梯度动态（GD）和牛顿迭代法在求解静态非线性方程 $f(x) = 0$ 时的应用，分析它们的原理、特点和性能，并通过具体的示例进行验证。

1. 问题描述与连续时间模型

考虑一般形式的非线性方程 $f(x) = 0$，其中 $f(·)$ 是连续可微的函数。我们的目标是找到方程的根 $x$，使得该方程成立。为了实现这一目标，我们将介绍两种连续时间模型：CTZD模型和GD模型。

1.1 CTZD模型

CTZD模型的设计基于消除不定误差函数的思想。具体步骤如下：
1. 定义误差函数 ：$e(t) = f(x)$，当误差函数 $e(t)$ 收敛到零时，$x(t)$ 收敛到理论解 $x^ $。
2. 选择误差函数的时间导数 ：通过ZD设计公式 $\frac{de(t)}{dt} = -\gamma\varphi(e(t))$，即 $\frac{df(x)}{dt} = -\gamma\varphi(f(x))$，使得误差函数 $e(t)$ 指数收敛到零。
3. 展开ZD设计公式 *：得到CTZD模型的微分方程 $\frac{\partial f(x)}{\partial x}\frac{dx}{dt} = -\gamma\varphi(f(x))$，等价于 $\dot{x}(t) = -\frac{\gamma\varphi(f(x))}{f’(x)}$（当 $f’(x