17、超越条件独立性的约束

超越条件独立性的约束

在因果模型和数据分析中，带有隐藏变量的模型会产生不同于条件独立性的约束。本文将介绍几种这样的约束，帮助大家理解其特点和应用。

1. Verma 约束

Verma 和 Pearl 给出了如图 9.5 所示的例子。对于与相应图马尔可夫相关的任何分布，存在如下 Verma 约束：
[
\sum_{b} p(b|a)p(d |a,b,c) = f(c,d)
]

与条件独立性约束不同，该约束能让我们判断从变量 A 到 D 是否存在有向边（在图 9.5 中，A 和 D 不能被 d - 分离）。虽然关于这些代数约束仍有许多未解决的问题，但在理解这些约束何时出现方面已有进展。

对于因果学习中如何利用这些约束，在二元变量的情况下，Richardson 等人和 Shpitser 等人使用嵌套马尔可夫模型对这类模型进行参数化，并提供了计算（约束）最大似然估计的方法。不过，嵌套马尔可夫模型并不包含所有的不等式约束。

2. 不等式约束

对图形模型的某些变量进行边缘化会产生大量不等式约束。这里介绍两个包含观测和未观测变量的有向无环图（DAG）示例，它们应用于不同领域。

2.1 因果结构示例一

如图 9.6(a) 所示的因果结构，对于二元变量，有不等式：
[
P(X = 0,Y = 0|Z = 0)+P(X = 1,Y = 1|Z = 1) \leq 1
]
这类不等式可用于测试变量是否为工具变量，在分析不完全依从的随机临床试验中起关键作用。

2.2 因果结构示例二

如