19、梯度下降与正则化：线性回归中的关键技术

梯度下降与正则化：线性回归中的关键技术

在机器学习的线性回归和逻辑回归领域，梯度下降和正则化是两个至关重要的技术。它们不仅帮助我们解决了最小二乘法的问题，还在分类问题中发挥着重要作用。本文将深入探讨这两种技术的原理、应用以及它们在实际数据集中的表现。

1. 梯度下降概述

在之前的研究中，我们可以通过偏导数找到回归直线的解析解。然而，在很多情况下，解析解并不容易得到。这时，梯度下降作为一种通用的优化方法，通过一系列连续的近似来寻找函数的全局或局部最小值。我们将使用这种技术来解决最小二乘法问题以及后续会遇到的分类问题。

2. 梯度下降的数学描述

梯度下降（由Cauchy在1847年提出）是一种数值方法，用于寻找函数 $y = f (w_0, w_1, w_2, \ldots , w_n) = f (w)$ 的全局或局部最小值，即使在没有解析解的情况下也能发挥作用。

以最小二乘法为例，误差平方和存在一个最小值。梯度下降的核心思想是通过一系列的点 $(w_k)$（这里表示权重向量）来逐步逼近这个最小值。在每次迭代中，当前点会向最小值方向移动一步。对于函数 $f$，会满足不等式 $f (w_1) > f (w_2) > \ldots > f (w_k) > f (w_{k+1}) > \ldots > min$。

给定一个初始权重向量 $w$，如何找到迭代的下一个点呢？梯度下降的步长通常较小，我们可以用 $w + v$ 来定义 $w$ 附近的点，其中 $v$ 是一个 $R^n$ 向量，且 $||v||$ 很小。因此，梯度下降问题可以重新表述为：给定 $w$，找到 $v$，使得 $f (w)