35、合取广播与基于属性的加密技术解析

最新推荐文章于 2025-10-07 17:13:04 发布

雪落无声360

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分类专栏：探索配对基础密码学的前沿进展文章标签：广播属性基加密 BKP-ABE1 BKP-ABE2

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合取广播与基于属性的加密技术解析

1. 引言

在当今数字化时代，数据安全至关重要。广播与基于属性的加密技术为数据的安全传输和访问控制提供了强大的支持。本文将详细介绍几种广播属性基加密（ABE）方案，包括它们的构造、加密解密过程、安全性证明、密钥委托和效率分析。

2. 关键方案介绍

2.1 BKP - ABE1 方案

设置（Setup） ：
- 随机选择生成元 (g \in G) 和随机数 (\alpha \in Z_p)。
- 计算 (g_i = g^{(\alpha i)} \in G) ，其中 (i = 1, 2, \cdots, n, n + 2, \cdots, 2n)。
- 随机选择 (\gamma \in Z_p) ，设置 (v = g^{\gamma} \in G)。
- 随机选择 (h_0, \cdots, h_{m’} \in G)。
- 公钥 (pk = \left{g, g_1, \cdots, g_n, g_{n + 2}, \cdots, g_{2n}, v, h_0, \cdots, h_{m’}\right}) ，主密钥 (msk = (\alpha, \gamma))。
- 定义函数 (F : Z_p \to G) 为 (F(x) = \prod_{j = 0}^{m’} h_j^{(x^j)})。
加密（Encrypt） ：
- 输入用户索引集 (S \subseteq U) 和主观策略的线性秘密共享访问结构 ((M, \rho)) 。
- 随机选择 (s, y_2, \cdots, y_{k_s} \in Z_p) ，令 (u = (s, y_2, \cdots, y_{k_s}))。
- 对于 (i = 1) 到 (\ell_s) ，计算 (\lambda_i = M_i \cdot u) ，其中 (M_i) 是 (M) 的第 (i) 行向量。
- 密文 (ct = (C, C^{(1)}, {C^{(2)} i} {i \in [1, \ell_s]}, C^{(3)})) ，其中：
  - (C = M \cdot e(g_n, g_1)^s)
  - (C^{(1)} = g^s)
  - (C^{(2)}_i = (g_1)^{\lambda_i}F(\rho(i))^{-s})
  - (C^{(3)} = (v \prod_{j \in S} g_{n + 1 - j})^s)
密钥生成（KeyGen） ：
- 输入用户索引 (ID \in U) 和属性集 (\psi \subseteq N) 。
- 随机选择 (r \in Z_p) 。
- 私钥 (sk = \left{D^{(1)}, D^{(2)}, {D^{(3)} x} {x \in \psi}\right}) ，其中：
  - (D^{(1)} = g^{\alpha ID \gamma + \alpha r})
  - (D^{(2)} = g^r)
  - (D^{(3)}_x = F(x)^r)
解密（Decrypt） ：
- 假设属性集 (\psi) 满足访问结构 ((M, \rho)) 且用户索引 (ID \in S) 。
- 计算重建常数 ({(i, \mu_i)}_{i \in I_s} = Recon(M, \rho)(\psi)) ，其中 (I_s = {i| \rho(i) \in \psi}) 。
- 计算 (K = \frac{e(g^{ID}, C^{(3)})}{e(\prod_{j \in S, j \neq ID} g_{n + 1 - j + ID}, C^{(1)})} \cdot \frac{\prod_{i = 1}^{\ell_s} \left(e(C^{(2)} i, D^{(2)}) \cdot e(C^{(1)}, D^{(3)} {\rho(i)})\right)^{\mu_i}}{e(C^{(1)}, D^{(1)})}) 。
- 消息 (M = C / K) 。

2.2 BKP - ABE2 方案

设置（Setup） ：
- 随机选择生成元 (g, v, h_0, \cdots, h_{m’} \in G) 和随机数 (\alpha, b \in Z_p)。
- 公钥 (pk = \left{g, g^b, g^{b^2}, v, v^b, h_0, \cdots, h_{m’}, e(g, g)^{\alpha}\right}) ，主密钥 (msk = (\alpha, b))。
- 定义函数 (F : Z_p \to G) 为 (F(x) = \prod_{j = 0}^{m’} h_j^{(x^j)})。
加密（Encrypt） ：
- 输入用户索引集 (S \subseteq U) 和属性集 (\omega \subseteq N) ，令 (R = U \setminus S) ，(R = {ID_1, \cdots, ID_r})。
- 随机选择 (s \in Z_p) ，选择随机数 (s_1, \cdots, s_r \in Z_p) 使得 (s = s_1 + \cdots + s_r)。
- 密文 (ct = \left{C, C^{(1)}, {C^{(2)} k} {k \in \omega}, {C^{(3)} j} {j \in [1, r]}, {C^{(4)} j} {j \in [1, r]}\right}) ，其中：
  - (C = M \cdot (e(g, g)^{\alpha})^s)
  - (C^{(1)} = g^s)
  - (C^{(2)}_k = F(k)^s)
  - (C^{(3)}_j = g^{b \cdot s_j})
  - (C^{(4)}_j = (g^{b^2 \cdot ID_j}v)^{s_j})
密钥生成（KeyGen） ：
- 输入用户索引 (ID \in U) 和线性秘密共享访问结构 ((N, \pi) \in ALSSS) 。
- 随机选择 (t, z_2, \cdots, z_{k_o} \in Z_p) ，令 (v = (\alpha + b^2t, z_2, \cdots, z_{k_o}))。
- 对于 (i = 1) 到 (\ell_o) ，计算 (\sigma_i = N_i \cdot v) ，其中 (N_i) 是 (N) 的第 (i) 行向量。
- 随机选择 (r_1, \cdots, r_{\ell_o} \in Z_p) 。
- 私钥 (sk = \left{ {D^{(1)} i} {i \in [1, \ell_o]}, {D^{(2)} i} {i \in [1, \ell_o]}, D^{(3)}, D^{(4)}\right}) ，其中：
  - (D^{(1)}_i = g^{\sigma_i}F(\pi(i))^{r_i})
  - (D^{(2)}_i = g^{r_i})
  - (D^{(3)} = (g^{b \cdot ID}v)^t)
  - (D^{(4)} = g^t)
解密（Decrypt） ：
- 假设属性集 (\omega) 满足访问结构 ((N, \pi)) 且用户索引 (ID \in S) 。
- 计算重建常数 ({(i, \nu_i)}_{i \in I_o} = Recon(N, \pi)(\omega)) ，其中 (I_o = {i| \pi(i) \in \omega}) 。
- 计算 (K = \prod_{i = 1}^{\ell_o} \left(\frac{e(D^{(1)} i, C^{(1)})}{e(C^{(2)} {\pi(i)}, D^{(2)} i)}\right)^{\nu_i} \cdot \prod {j = 1}^{r} \left(\frac{e(D^{(4)}, C^{(4)}_j)}{e(D^{(3)}, C^{(3)}_j)}\right)^{\frac{1}{ID - ID_j}}) 。
- 消息 (M = C / K) 。

2.3 BCP - ABE1 和 BCP - ABE2 方案

这两个方案分别是 Boneh - Gentry - Waters 广播加密与 Waters 密文策略属性基加密（CP - ABE）的组合，以及 Sahai - Waters 广播加密与 Waters CP - ABE 的组合。它们的构造与上述方案类似，只是在具体参数和计算上有所不同。

3. 安全性证明

3.1 安全性证明思路

由于每个系统基于两个底层方案的组合，安全性证明基于两个基础假设中更强的假设。需要从更强的假设中提取出另一个（较弱）基础假设的问题实例，以便在原语的相应部分嵌入该较弱假设。

3.2 假设总结

方案	广播加密（BE）	属性基加密（ABE）	提取的假设
BKP - ABE1	BGW[8] BDHE	GPSW[16] BDH	((g^s, g^{\alpha}, g^{\alpha q}, Z \stackrel{?}{=} e(g, g)^{\alpha q + 1 s}))
BKP - ABE2	SW[22] MEBDH	GPSW[16] BDH	((g^s, g^{a_1^2}, g^{\alpha / a_1^2}, Z \stackrel{?}{=} e(g, g)^{\alpha s}))
BCP - ABE1	BGW[8] BDHE	W[23] BDHE	无
BCP - ABE2	SW[22] MEBDH	W[23] BDHE	((g^s, \forall_{1 \leq i, j \leq q; i \neq j} g^{a_i^2}, g^{\alpha / a_i^2}, g^{\alpha a_i^2 / a_j^2}, Z \stackrel{?}{=} e(g, g)^{\alpha s}))

4. 密钥委托

4.1 BKP - ABE1 方案的密钥委托

支持 (sk(\top, \top) \to sk(ID, \top) \to sk(ID, (N, \pi))) 类型的委托。
- 从主密钥 (msk = sk(\top, \top)) 计算 (sk(ID, \top) = g^{(\alpha ID \gamma)})。
- 将 (sk(ID, \top)) 委托给 (sk(ID, (N, \pi)) = \left{ {D^{(1)} i} {i \in [1, \ell_o]}, {D^{(2)} i} {i \in [1, \ell_o]}\right}) ：
- 随机选择 (z_2, \cdots, z_{k_o}, r_1, \cdots, r_{\ell_o} \in Z_p) 。
- (D^{(1)} i = \left[sk(ID, \top)\right]^{N {i, 1}} g^{\sum_{j = 2}^{k_o} N_{i, j} z_j} F(\pi(i))^{r_i}) ，(D^{(2)}_i = g^{r_i})。

4.2 BKP - ABE2 方案的密钥委托

支持 (sk(\top, \top) \to sk(ID, \top) \to sk(ID, (N, \pi))) 和 (sk(\top, \top) \to sk(\top, (N, \pi)) \to sk(ID, (N, \pi))) 两种类型的委托。具体委托过程较为复杂，这里不再详细展开。

5. 效率分析

5.1 效率比较表

| 方案 | 密文大小（|cipher|） | 私钥大小（|priv|） | 公钥大小（|pub|） |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| OSW [20] | ((2t + 1) + O(r)) | ((2k + 2) \cdot (\log n)) | ((3^{\dagger} \cdot \log n) + O(n)) |
| BCP - ABE1 | ((t + 1) + 1) | ((k + 2)) | ((m + \ell + 3)^{\dagger} + (2n - 1)) |
| BKP - ABE1 | ((k + 1) + 1) | ((2t)) | ((m + 4) + (2n - 2)) |
| BCP - ABE2 | ((t + 1) + 2r) | ((k + 2) + 2) | ((m + \ell + 3)^{\dagger} + 4) |
| BKP - ABE2 | ((k + 1) + 2r) | ((2t) + 2) | ((m + 4) + 3^{\dagger}) |

5.2 效率总结

BKP - ABE1 方案的密文和私钥大小与原始（不可撤销）KP - ABE 方案几乎相同，但公钥大小与 (n) 呈线性关系。
BKP - ABE2 方案将公钥大小降低到与原始 KP - ABE 几乎相同，而密文仅需额外的 (2r) 个群元素。
这些方案比之前的 OSW 方案更高效，并且可以通过使用随机预言机进一步改进，将公钥大小减少 (m) 个元素。

6. 总结

本文介绍了几种广播属性基加密方案，包括它们的构造、加密解密过程、安全性证明、密钥委托和效率分析。这些方案在数据安全和访问控制方面具有重要应用价值，为解决实际问题提供了有效的解决方案。未来，随着技术的发展，这些方案可能会在更多领域得到应用和改进。

7. 方案流程可视化

7.1 BKP - ABE1 方案流程

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(设置):::process
    B --> C(加密):::process
    C --> D(密钥生成):::process
    D --> E{属性集和索引是否满足条件}:::decision
    E -- 是 --> F(解密):::process
    E -- 否 --> G([结束]):::startend
    F --> G

7.2 BKP - ABE2 方案流程

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(设置):::process
    B --> C(加密):::process
    C --> D(密钥生成):::process
    D --> E{属性集和索引是否满足条件}:::decision
    E -- 是 --> F(解密):::process
    E -- 否 --> G([结束]):::startend
    F --> G